Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

76 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 217. Eine Firma beschäftigt sich mit der Herste ®® ung von Vasen. Dazu betrachten sie verschiedene Formen. Die Vase so ®® 60 cm hoch sein. Es werden drei Varianten über ® egt: Variante A: Die Querschnittsf ® äche ​Q​ A ​(z) in der Höhe z so ®® rechteckig sein. Für die Breite b(z) und die Länge a(z) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Höhe z gi ® t: a(z) = 20 b(z) = 10 Variante B: Die Querschnittsf ® äche ​Q​ B ​(z) in der Höhe z so ®® rechteckig sein. Für die Breite b(z) und die Länge a(z) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Höhe z gi ® t: a(z) = 15 b(z) = 0,5 z + 12 Variante C: Die Querschnittsf ® äche ​Q​ C ​(z) in der Höhe z so ®® kreisförmig sein. Für den Radius r(z) in Abhängigkeit von der Höhe z gi ® t: r(z) = 0,5 z + 2 a) Gegeben sind Aussagen über die Querschnittsf ® ächen der einze ® nen Varianten. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A ​Q​ A ​ist eine konstante Funktion.  B ​Q​ B ​wächst für steigendes z ® inear.  C ​Q​ C ​wächst für steigendes z exponentie ®® .  D Je größer z ist, desto größer ist der Funktionswert ​Q​ A ​(z).  E ​Q​ C ​ist eine ® ineare Funktion.  b) Die Firma entscheidet sich für eine andere Variante. Für die Querschnittsf ® äche Q(z) (in cm 2 ) in Abhängigkeit von der Höhe z so ®® ge ® ten: Q(z) = 0,5 z + 6 Interpretiere die Werte 0,5 und 6 der Querschnittsf ® äche im gegebenen Kontext. Interpretiere den Ausdruck ​  :  0 ​  25 ​   Q(z)​dz im gegebenen Kontext. Berechne die Wasserhöhe, wenn in die Vase 1,5  ® Wasser eingefü ®® t wurde. c) W(t) ist die Wassermenge (in m ® ) in der Vase zum Zeitpunkt t (in Sekunden). Es gi ® t: W’(t) = 12. Interpretiere diesen Wert im gegebenen Kontext. d) Berechne, wie vie ® Liter Wasser in die Vase passen, wenn sich die Firma für Variante B entscheidet. e) Für den Verkauf von x Stück einer bestimmten Vase ka ® ku ® iert die Firma mit der Grenzkostenfunktion K’, die näherungsweise durch die Funktionsg ® eichung K’(x) = ‒ 0,003 x 2 + 5 angegeben werden kann (K’ in Euro/Stück). Der Graph der Er ® ösfunktion E für diese Vase ist in der nebenstehenden Abbi ® dung dargeste ®® t. Gib eine Funktionsg ® eichung der Gewinnfunktion G für diese Vase an, wenn bekannt ist, dass für einen Verkauf von 50 Stück der Gewinn 425 Euro beträgt. Typ 2 x E(x) 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 60 70 0 E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv