Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

74 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Gewinnfunktion und Grenzgewinnfunktion 213. Gegeben ist die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,5 x 3 – x 2 + x + 15. Der Verkaufspreis pro Mengeneinheit beträgt p = 12GE. a) Ste ®® e die Gewinnfunktion G auf und berechne den Grenzgewinn G’(3). Deute G’(3) geometrisch bzw. im Kontext. b) Berechne das Integra ® ​ :  1 ​  3 ​ G’(x)​dx und interpretiere es geometrisch und im Kontext. a) Für die Er ® ösfunktion E gi ® t: E(x) = 12 x, für die Gewinnfunktion G gi ® t: G(x) = E(x) – K(x) = 12 x – 0,5 x 3 + x 2 – x – 15 = ‒ 0,5 x 3 + x 2 + 11 x – 15 Für den Grenzgewinn G’ gi ® t: G’(x) = ‒1,5 x 2 + 2 x + 11, d.h. G’(3) = 3,5GE/ME Geometrisch gibt G’(3) die Steigung der Tangente an G an der Ste ®® e x = 3 an, im Kontext (näherungsweise) den für eine zusätz ® ich abgesetzte Mengeneinheit zu erwartenden Gewinnzuwachs. b) ​ :  1 ​  3 ​ G’(x)​dx = ​ :  1 ​  3 ​ (‒1,5​x​ 2 ​+ 2 x + 11)​dx = 17GE. Geometrisch gibt der Wert des Integra ® s den Inha ® t der F ® äche zwischen dem Graphen von G’ und der waagrechten Achse an. Da G eine Stammfunktion von G’ ist, beschreibt der Wert des Integra ® s die Änderung des Gesamtge- winns bei einer Zunahme der Produktionsmenge von 1ME auf 3ME, d.h. G(3) – G(1) = 17GE. 214. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Der Verkaufspreis pro Mengeneinheit beträgt pGE. 1) Ste ®® e die Gewinnfunktion G auf, berechne den Grenzgewinn G’(a) und deute G’(a) geometrisch und im Kontext. 2) Berechne und interpretiere das gegebene Integra ® geometrisch und im Kontext. a) K(x) = 0,4 x 3 – 1,2 x 2 + 1,3 x + 12; p = 15; a = 2; ​ :  1 ​  4 ​ G’(x)​dx b) K(x) = 0,3 x 3 – 1,1 x 2 + 1,4 x + 17; p = 20; a = 4; ​ :  0 ​  3 ​ G’(x)​dx c) K(x) = 0,2 x 3 – 0,75 x 2 + 1,4 x + 21; p = 17; a = 6; ​ :  3 ​  6 ​ G’(x)​dx 215. Die Funktionsgraphen ste ®® en den Grenzgewinn G’ dar. Kreuze die beiden Graphen an, bei we ® chen durch eine Erhöhung der abgesetzten Menge von aME auf bME eine positive Gewinnänderung beschrieben wird. A   a = 3; b = 5 B   a = 3; b = 5 C   a = 1; b = 5 D   a = 2; b = 4 E   a = 1; b = 3 muster x G’(x) G’ 1 2 3 4 2 4 6 8 10 12 14 0 AN 4.3 x G’(x) G’ 1 2 3 4 2 4 –4 –2 0 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 – 15 – 10 –5 0 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 – 15 – 10 –5 0 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 –20 – 15 – 10 –5 0 x G’(x) G’ 1 2 3 4 5 2 4 –4 –2 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv