Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

73 Weitere Anwendungen der Integralrechnung |  Anwendungen aus der Wirtschaft Kostenfunktion und Grenzkostenfunktion 208. Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K’ mit K’(x) = 0,03 x 2 – 6 x + 350. a) Bestimme den Wert K’(50) und deute ihn im Kontext. b) Berechne den Wert des Integra ® s ​  :  50 ​  100 ​   K’(x)​dx und deute ihn geometrisch und im gegebenen Kontext. a) Nach Einsetzen von x = 50 in K’(x) erhä ® t man den Wert der Grenzkostenfunktion bei dieser Produktionsmenge: K’(50) = 0,03 · 50 2 – 6 · 50 + 350 = 125GE/ME. Wird die Produk- tion von 50ME auf 51ME erhöht, steigen die Gesamtkosten näherungsweise um 125GE. b) Für den Wert des Integra ® s gi ® t: ​  :  50 ​  100 ​   K’(x)​dx = ​  :  50 ​  100 ​   (0,03​x​ 2 ​– 6 x + 350)​dx = 3750GE Geometrisch entspricht dieser Wert dem F ® ächen­ inha ® t zwischen dem Graphen der Funktion K’ und der waagrechten Achse im Interva ®® [50; 100]. Da K eine Stammfunktion von K’ ist, gibt dieser Wert die Änderung der Gesamtkosten an, wenn die Produktion von 50ME auf 100ME erhöht wird. 209. Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K’. Berechne den Wert des Integra ® s und deute ihn im gegebenen Kontext. (K in GE, x in ME) a) K’(x) = 2 x + 3,5; ​ :  3 ​  5 ​ K’(x)​dx c) K’(x) = 1,5 x 2 – 3 x + 2; ​ :  2 ​  4 ​ K’(x)​dx b) K’(x) = 4 x + 7; ​ :  0 ​  3 ​ K’(x)​dx d) K’(x) = 2,4 x 2 – 4 x + 3,5; ​ :  1 ​  3 ​ K’(x)​dx 210. Gegeben ist die Grenzkostenfunktion K’ (K’(x) > 0 für a ®® e x). Deute den gegebenen Term geometrisch und im Kontext. a) K’(5) b) ​ :  0 ​  20 ​ K’(x)​dx c) K’(a) d) ​ :  a ​  b ​ K’(x)​dx 211. Gegeben sind die Kostenfunktion K sowie die dazugehörige Grenzkostenfunktion K’. Kreuze die beiden Terme an, die die abso ® ute Kostenänderung beschreiben, wenn die Produktion von aME auf (a + 1)ME erhöht wird. A  B  C  D  E  ​ :  0 ​  a ​ K’(x) ​ d x K(a + 1) – K(a) K(a + 1) K’(a) ​  :  a ​  a + 1 ​  K’(x) ​ d x 212. Gegeben ist der Graph der Grenzkostenfunktion K’. Deute den im gegebenen Interva ®® eingezeichneten F ® ächeninha ® t im Kontext. a) b) muster x K’(x) K’ 20 40 60 80 100 120 100 200 300 400 500 0 AN 4.3 AN 4.3 x K’(x) 1 2 3 4 5 10 15 0 K’ x K’(x) 1 2 3 4 5 10 15 0 K’ Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv