Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 71 Weitere Anwendungen der Integralrechnung |  Naturwissenschaftliche Anwendungen Aus der a ®® gemeinen Beziehung ​ :  ​  ​ f(x)​dx = F(x) + c zwischen der Stammfunktion F und einer Funktion f fo ® gt für den Luftdruck p und die Änderungsrate p’ die Beziehung ​ :  ​  ​ p’(x)​dx = p(x) + c, wobei p eine Stammfunktion von p’ ist. Der Ausdruck ​  :  100 ​  500 ​  p’(x)​dx = p(500) – p(100) kann daher a ® s die gesamte Luftdruckänderung bei einer Höhenänderung von 100m auf 500m interpretiert werden. Integra ® einer momentanen Änderungsrate Ist f’(x) = ​  d f _ d x ​die momentane Änderungsrate der Größe f, so bedeutet der Ausdruck ​ :  a ​  b ​ f’(x)​dx = f(b) – f(a) die Änderung der Größe f im Interva ®® [a; b]. 201. Die Änderungsrate des Luftdrucks p (in Pasca ® Pa) mit der Höhe h (in Metern m über dem Meeresspiege ® ) kann durch fo ® gende Funktion beschrieben werden: p’(h) = ‒ 0,125 · ​e​ ‒ ​  1 _  7991  ​h ​ . Bestimme die Änderung des Luftdrucks bei einer Höhenänderung von 1 km auf 2 km. ​ :  1000 ​  2000 ​  ‒ 0,125 · ​e​ ‒ ​  1 _  7991  ​h ​dh ≈ ‒104 Die Luftdruckänderung beträgt ca. ‒104 Pa. Der Luftdruck nimmt um ca. 104 Pa ab. 202. N(t) gibt die Anzah ® von Bakterien nach t Minuten an. Die momentane Änderungsrate N’(t) kann durch die Funktion N’(t) = 1 000 + 200 t beschrieben werden. a) Berechne die Bakterienzunahme in der zehnten und der e ® ften Minute. b) Nach drei Minuten gibt es 10 000 Bakterien. Bestimme die Anzah ® der Bakterien nach fünf Minuten. 203. Die durch einen Leiter f ® ießende Ladung Q(t) (in Cou ® omb C) ist abhängig von der Zeit t (in Sekunden s). Die Änderungsrate von Q(t) bezeichnet man a ® s e ® ektrische Stromstärke I(t) (in Ampere A). Für I(t) gi ® t: I(t) = ‒ 0,5 t 2 + 2 a) Drücke den Zusammenhang zwischen Q und I in Form einer G ® eichung aus. b) Bestimme die Ladungsmenge, die in den ersten 1,5 Sekunden durch den Leiter f ® ießt. c) Zeichne den Graphen von I(t) und Q(t) in ein Koordinatensystem (t * [0; 2]), wenn Q(0) = 0 ist. 204. h(t) bezeichnet die Höhe eines Baumes in Zentimeter nach t Jahren. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der momentanen Änderungsrate der Baumhöhe. Zeichne die Höhenänderung des Baumes innerha ® b der ersten fünf Jahre in die Abbi ® dung ein. 205. Die Wachstumsgeschwindigkeit v eines Pi ® zes beträgt konstant 3,5 cm 2 pro Stunde. Zur Zeit t = 0 h bedeckt der Pi ® z eine F ® äche A von 5 cm 2 . A(t) bezeichnet die vom Pi ® z bedeckte F ® äche nach t Stunden. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A  B  C  D  E  ​ :  0 ​  t ​ v(t)​dt = A(t) ​ :  0 ​  t ​ v(t)​dt = 3,5 ​ :  1 ​  2 ​ v(t)​dt = 3,5 ​  dA(t) _ dt  ​= 3,5 A(t) = 3,5 t + A(0); A(0) = 5 muster AN 4.3 t h’(t) in cm/Jahr 0 1 2 3 4 5 h’ Ó Arbeitsb ® att momentane Änderungsrate k5r43r AN 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv