Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 70 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Zusammenhang zwischen Leistung und Arbeit Die Arbeit W (in Jou ® e J) kann auch a ® s Produkt von Leistung P (in Watt W) und der benötigten Zeit Δ t (in Sekunden s) berechnet werden: W = P · Δ t Ist die Leistung von der Zeit t abhängig (P = P(t)), so berechnet man die Arbeit mit Hi ® fe eines Integra ® s. Die Arbeit Wird vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t 2 die mit der Zeit veränder ® iche Leistung P(t) erbracht (P(t) > 0 im Interva ®® [​t​ 1 ​; ​t​ 2 ​]), so wird dabei die Arbeit W[t 1  ; t 2  ] verrichtet. W[​t​ 1  ​; ​t​ 2 ​] = ​  :  ​t​ 1 ​ ​  ​t​ 2 ​ ​   P(t)​dt Die Arbeit ist das Integra ® der Leistung nach der Zeit. 198. Die Leistung P(t) einer Maschine steigt innerha ® b einer Stunde ® inear von 0,5W auf 2W an. Bestimme die Arbeit W in kJ, die in dieser Zeit von der Maschine verrichtet wird. Da P(t) ® inear ansteigt, gi ® t: P(t) = k · t + d k = ​  2 – 0,5 _ 3 600  ​= 0,000417; d = P(0) = 0,5  w  P(t) = 0,000417 t + 0,5 W = ​ :  0 ​  3600 ​  (0,000417 t + 0,5)​dt = 4 502,16 Es wird die Arbeit 4,5 kJ verrichtet. 199. Die Leistung P(t) einer Hebevorrichtung steigt innerha ® b der Zeit t 1) ® inear 2) exponentie ®® von a Watt auf b Watt an. Berechne die Arbeit W in kJ, die in dieser Zeit von der Hebevorrichtung verrichtet wird. a) a = 10; b = 100; t = 20min c) a = 20; b = 200; t = 2 h b) a = 50; b = 100; t = 20 s d) a = 2; b = 3; t = 1min 200. Die Abbi ® dung zeigt den Graphen einer Funktion, we ® che die Leistung L einer dimmbaren Lampe beschreibt. Interpretiere den Wert der eingezeichneten F ® äche. Integra ® einer momentanen Änderungsrate In Lösungswege 7 wurde der Wert der ersten Ab ® eitung an der Ste ®® e x einer physika ® ischen Größe f a ® s momentane Änderungsrate dieser Größe an der Ste ®® e x bezeichnet. Wenn zum Beispie ® p(h) den Luftdruck (in Pasca ® Pa) in der Höhe h (in Meter m) bezeichnet, so bezeichnet p’(h) die momentane Änderungsrate des Luftdrucks in der Höhe h. In der Leibniz’schen Schreibweise gi ® t p’(h) = ​  dp _ dh ​ . muster AN 4.3 Zeit in Sekunden (s) Leistung in Watt (W) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 20 30 40 50 60 0 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv