Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

7 kompe- tenzen 1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integra ® Lernzie ® e: º º Den Begriff Stammfunktion definieren und anwenden können º º Eine Stammfunktion (das unbestimmte Integra ® ) von verschiedenen Funktionen berechnen können º º Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren kennen º º Einfache Rege ® n der Integra ® rechnung anwenden können º º f(x) = cos(k x), f(x) = sin(k x), f(x) = e kx integrieren können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 3.1 Den Begriff Ab ® eitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN 4.2 Einfache Rege ® n des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzrege ® , Summenrege ® , :    k · f(x)dx, :    f(k · x)dx […] 1. Bi ® de die erste Ab ® eitung der Funktion f. a) f(x) = 4 c) f(x) = sin(3 x) e) f(x) = ‒ 4 x 3 g) f(x) = e ‒4x b) f(x) = 4 x d) f(x) = cos(5 x) f) f(x) = ‒ x 5 + 4x 3 – 12 h) f(x) = ‒ 5e ‒3x 2. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s eines Körpers zum Zeitpunkt t (s in Meter, t in Sekunden). Bestimme die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v und die Zeit-Besch ® eunigungs funktion a. a) s(t) = 12 t b) s(t) = ‒ 5 t 2 c) s(t) = 120 + 12 t + 5 t 2 3. Gib jewei ® s ein Beispie ® für die angegebene Rege ® an (k * R \{0}). a) (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) b) (k · f(x))’ = k · f’(x) c) f(k · x)’ = k · f’(k · x) Stammfunktionen In Lösungswege 7 wurden die ersten Ab ® eitungen von Funktionen gebi ® det. Diesen Vorgang nennt man Differenzieren. Betrachtet man nun eine Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = t 2 + 2 t + 1 (s in Meter, t in Sekunden), so wird durch Differenzieren die Zeit-Geschwindigkeisfunktion v ermitte ® t: v(t) = s’(t) = 2 t + 2 In der Praxis ® ässt sich v oft ® eichter angeben. Wie kann man a ®® erdings nur durch Kenntnis von v wieder die Funktion s bestimmen? Man sucht eine Funktion s, deren Ab ® eitung v ergibt. Die Funktion s wird dann Stamm funktion von v genannt. Durch Ausprobieren erhä ® t man für die Funktion s z. B. fo ® gende Mög ® ichkeiten: s 1 (t) = t 2 + 2 t s 2 (t) = t 2 + 2 t + 3 s 3 (t) = t 2 + 2 t + 12 Man findet daher unend ® ich vie ® e Stammfunktionen, da ein konstantes G ® ied beim Differen- zieren „wegfä ®® t“ und man dieses ohne Zusatzinformationen nicht bestimmen kann. Eine Stammfunktion s kann man in diesem Fa ®® auf fo ® gende Art anschreiben: s(t) = t 2 + 2 t + c (c * ℝ ) vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv