Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

68 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 190. Zieht man eine Spira ® feder auseinander, so ist in einem bestimmten Bereich die dafür benötigte Kraft F (in Newton N) direkt proportiona ® zur Ausdehnung x (in Meter m) aus der Ruhe ® age der Feder. F ( Federkraft ) kann im Definitionsbereich [0; 0,5] durch die Funktionsg ® eichung F(x) = 5 · x ( Federg ® eichung ) beschrieben werden. a) Bestimme die Arbeit, die man benötigt, um die Feder von einer Ausdehnung von 20 cm auf 40 cm zu bringen. b) Die an der Feder verrichtete Arbeit wird a ® s Energie E in der Feder gespeichert. Die Feder wurde um 50 cm aus der Ruhe ® age ausgedehnt. Bestimme die in ihr gespeicherte Energie. c) Zeichne die Arbeit, die man benötigt, um eine Feder von einer Ausdehnung von 20 cm auf 40 cm zu bringen, in ein F-x-Diagramm ein. d) Bestimme a ®® gemein die Arbeit, die man verrichtet, wenn man eine Feder mit der Feder- kraft F(x) = k · x (k * ℝ + ) um a Meter aus der Ruhe ® age ausdehnt. a) W[0,2; 0,4] =   :  0,2   0,4   5 xdx =   5x 2 _ 2    1 0,2   0,4 = 0,3. Die Arbeit beträgt 0,3 J. b) E = W[0; 0,5] =   :  0   0,5   5 xdx = 5x 2 _ 2    1 0   0,5 = 0,625. Die Energie beträgt 0,625 J. c) d) W[0; a] = :  0   a k xdx = k · x 2 _ 2    1 0   a =   1 _ 2 k a 2 . Die Energie beträgt   1 _ 2 k a 2 J. 191. Die Federg ® eichung beschreibt die Kraft in Newton, die benötigt wird, um eine Spira ® feder aus der Ruhe ® age um x Meter auszudehnen. Bestimme die Arbeit W (in Jou ® e J), die benötigt wird, um eine Spira ® feder von der Ausdehnung a auf die Ausdehnung b zu bringen, und ste ®® e den Wert von W in einem passenden F-x-Diagramm dar. a) F(x) = 3 x; a = 0,4; b = 0,6 b) F(x) = x; a = 0; b = 0,7 c) F(x) = 0,1 x; a = 0,25; b = 0,5 192. Um eine Stah ® feder aus der Ruhe ® age x = 0 cm um x cm zu dehnen, ist die Kraft F(x) erforder ® ich. Interpretiere den Ausdruck :  2   5 F(x)dx im Kontext. 193. Mit F(x) (in Newton N) wird die Kraft F beschrieben, die auf einen Körper an der Ste ®® e x (in Meter m) wirkt. Ein Körper wird durch diese Kraft von der Ste ®® e m zur Ste ®® e n bewegt. Bestimme die dafür notwendige Arbeit W und zeichne den Wert von W in ein geeignetes F-x-Diagramm ein. a) F(x) = x 2 ; m = 2; n = 3 b) F(x) =   2 _  x 2 ; m = 1; n = 4 c) F(x) = sin(x); m = 0,5; n = 1 muster Ausdehnung x x F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 1 1,5 2 0 F(x) = 5x W = 0,3J AN 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv