Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

66 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 185. Ein Auto besch ® eunigt aus dem Stand (s(0) = 0m, v(0) = 0m/s). Die Besch ® eunigung nimmt stets ab und wird bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit g ® eich nu ®® . Annähernd t Sekunden nach dem Start wird die Besch ® eunigung durch die Funktion a mit a(t) = 0,0025 t 2 – 0,2 t + 4 (in m/s 2 ) beschrieben. a(t) gi ® t bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit. a) Bestimme das Zeitinterva ®® [0; t 1  ], in dem das Auto besch ® eunigt. b) Zeichne den Graphen der Funktion a im Interva ®® [0; t 1  ] und berechne die Höchstgeschwin- digkeit in km/h. Wie wird die Höchstgeschwindigkeit im Graphen von a dargeste ®® t? c) Berechne die Länge des Wegs, den das Auto bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit zurück ® egt. d) Interpretiere den Ausdruck ​  :  10 ​  20 ​   a(t)​dt im Kontext. 186. Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0m/s wird gemäß der Funktion a mit a(t) = ‒ ​  5 _ 3 ​t 2 + ​  20 _ 3  ​t (a(t) in m/s 2 , t in Sekunden) im Interva ®® [0; 6] besch ® eunigt. a) Skizziere und interpretiere den Ver ® auf des Graphen der Funktion a. b) Berechne ​ :  0 ​  4 ​ a(t)​dt und deute den erha ® tenen Wert im Kontext. c) Berechne ​ :  4 ​  6 ​ a(t)​dt d) Berechne ​ :  0 ​  6 ​ a(t)​dt e) Bestimme die Länge des Wegs im Zeitinterva ®® [2; 4]. 187. Kennzeichne im Graphen der Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a (a(t) in m/s 2 ) die Änderung der Geschwindigkeit (v(t) in m/s) im Interva ®® [3; 6]. 188. Ein Experimentierwagen wird durch eine zusammengedrückte Feder aus der Ruhe besch ® eunigt und von der ausgedehnten Feder wieder abgebremst. Seine Geschwindigkeit t Sekunden nach dem Start wird durch die Funktion v mit v(t) = ‒ 4 t 3 + 12 t 2 (v(t) in m/s, t in Sekunden) mode ®® iert. a) Berechne die Länge des Wegs, den der Wagen bis zum Erreichen der Maxima ® geschwindigkeit zurück ® egt. b) Bestimme den Zeitpunkt, an dem der Wagen die maxima ® e Besch ® eunigung erreicht und berechne, we ® chen Weg er bis dahin zurück ® egt. c) a (in m/s 2 ) ist die Zeit-Besch ® eunigungsfunktion des Wagens. Interpretiere den Wert des Integra ® s ​ :  0 ​  3 ​ a(t)​dt in diesem Kontext. 189. Ein He ® ikopter wird während eines Auf- und Abwärtsf ® uges sechs Sekunden ® ang beobachtet. Zu Beginn der Beobachtung (t = 0) befindet sich der He ® ikopter 300m über dem Boden mit einer momentanen Steiggeschwindigkeit von 8m/s. Die Funktion a mit a(t) = 15,4 t – 40 gibt im Beobachtungszeitraum die Besch ® eunigung in m/s 2 zur Zeit t in Sekunden an. a) Berechne den Weg des He ® ikopters, den er von Beginn der Beobachtung bis zum Erreichen des höchsten Punktes zurückge ® egt hat. b) Berechne den Weg des He ® ikopters, den er von der zweiten bis zur vierten Sekunde zurück ® egt. (Beachte den Ver ® auf des Graphen der Funktion v.) Ó Arbeitsb ® att Besch ® eunigungs- funktion q79e58 t a(t) 1 2 3 4 5 6 ‒2 ‒4 ‒6 2 0 a Ó Arbeitsb ® att Brems- und Anha ® teweg ib9xg4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv