Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

65 Weitere Anwendungen der Integralrechnung | Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von einer be ® iebigen Zeit-Besch ® eunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg sch ® ießen Eine Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a kann auch negative Werte a(t) in einem Zeitinterva ®® annehmen, was dem Abbremsen eines Körpers entspricht. 184. Ein Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0m/s wird gemäß der Funktion a a(t) = ‒15 t 2 + 30 t (a(t) in m/s 2 , t in Sekunden) im Interva ®® [0; 3] besch ® eunigt. a) Skizziere und interpretiere den Ver ® auf des Graphen der Funktion a. b) Berechne :  0   2 a(t)dt und deute den erha ® tenen Wert im Kontext. c) Berechne :  2   3 a(t)dt und deute den erha ® tenen Wert im Kontext. d) Berechne :  0   3 a(t)dt und deute den erha ® tenen Wert im Kontext. e) Bestimme die Länge des Wegs im Zeitinterva ®® [1; 2]. a) Die Abbi ® dung zeigt den Ver ® auf des Graphen von a. Im Interva ®® (0; 2) ver ® äuft der Graph von a oberha ® b der Zeitachse, d. h. der Körper besch ® eunigt. Für t > 2 Sekunden sind die Werte a(t) negativ, d. h. der Körper wird abgebremst. b) Berechnung des Integra ® s: :  0   2 a(t)dt = ‒ 5t 3 + 15t 2   1 0   2 = 20m/s Nach zwei Sekunden hat der Körper von 0m/s auf seine maxima ® e Geschwindigkeit von 20m/s besch ® eunigt und wird danach wieder abgebremst. c) Berechnung des Integra ® s: :  2   3 a(t)dt = ‒ 5t 3 + 15t 2   1 2   3 = ‒ 20m/s Im Zeitinterva ®® [2; 3] nimmt die Geschwindigkeit um 20m/s ab. d) Für den Wert des Integra ® s im Interva ®® [0; 3] gi ® t: :  0   3 a(t)dt = ‒ 5t 3 + 15t 2   1 0   3 = 0m/s Nach drei Sekunden ist die Geschwindigkeit des Körpers nu ®® , d. h. er ist wieder zum Sti ®® stand gekommen. e) Es gi ® t: v(t) = :    a(t)dt = ‒ 5t 3 + 15t 2 (v(0) = 0m/s). Das bestimmte Integra ® :  1   2 v(t)dt = ‒   5t 4 _ 4  + 5t 3   1 1   2 = 16,25m gibt den zurückge ® egten Weg im Interva ®® [1; 2] an. Es können fo ® gende Sch ® ussfo ® gerungen gezogen werden: –– Das Berechnen des Integra ® s einer Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a über eine Nu ®® ste ®® e hinweg kann sinnvo ®® interpretiert werden und ist daher zu ® ässig. –– Das Bi ® den des Betrags eines negativen Werts von :  t 1   t 2 a(t)dt im Interva ®® [t 1 ; t 2 ] ist nicht sinnvo ®® , da dadurch genau das Gegentei ® , näm ® ich eine Zunahme der Geschwindigkeit, beschrieben werden würde. muster t a(t) 1 2 3 10 20 –40 –30 –20 – 10 0 a Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv