Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 63 Weitere Anwendungen der Integralrechnung | Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von einer nicht-negativen Zeit-Besch ® eunigungsfunktion auf die Geschwindigkeit und den Weg sch ® ießen Das bestimmte Integra ® einer positiven Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a in einem Zeitinter- va ®® [t 1 ; t 2 ] gibt die in diesem Zeitinterva ®® herrschende Geschwindigkeitsänderung an. Die Geschwindigkeitsfunktion kann nach dem Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung mithi ® fe einer Stammfunktion von a ( :    a(t)dt = v(t) + c) exakt berechnet werden. Ausgehend von der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v kann durch unbestimmtes Integrieren auch wieder die Zeit-Ort-Funktion s ermitte ® t werden. Integra ® der Zeit-Besch ® eunigungsfunktion Beschreibt eine Zeit-Besch ® eunigungsfunktion a die Besch ® eunigung a(t) eines Körpers zum Zeitpunkt t in einem Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ] und ist im betrachteten Zeitraum a(t) größer oder g ® eich nu ®® , gi ® t für die Geschwindigkeitsänderung v(t 1 ; t 2 ) in diesem Zeitinterva ®® : v(t 1 ; t 2 ) = :  t 1   t 2 a(t)dt = v(t 2 ) – v(t 1 ) 176. Eine Rakete hat eine Startbesch ® eunigung von rund 6m/s 2 . Die Besch ® eunigung ist während des ganzen F ® uges a ® s konstant anzunehmen. Die Variab ® e t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an. a) Bestimme die Funktion v, die die Geschwindigkeit der Rakete (in m/s) t Sekunden nach dem Start angibt und ermitt ® e die Geschwindigkeitsänderung der Rakete im Zeitinterva ®® [6; 10]. b) Berechne die Höhe der Rakete 240 Sekunden nach dem Start sowie ihre Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. a) Für die konstante Besch ® eunigung gi ® t: a(t) = 6m/s 2 . Das unbestimmte Integra ® der Funktion a ® iefert die Geschwindigkeitsfunktion v(t) = :    a(t)dt = :    6dt = 6 t + c 1 . Die additive Konstante c 1 hat den Wert nu ®® , da sie die Anfangsgeschwindigkeit der Rakete angibt und diese beim Start (t = 0) 0m/s beträgt. Für die Geschwindigkeitsänderung gi ® t: v(10) – v(6) = 60 – 36 = 24m/s b) Für die Funktion s(t), die die Höhe der Rakete zum Zeitpunkt t beschreibt, gi ® t: s(t) = :    v(t)dt = :    6 tdt = 3t 2 + c 2 . Die additive Konstante c 2 hat den Wert nu ®® , da sie die Höhe der Rakete beim Start (t = 0) angibt und diese zu diesem Zeitpunkt 0m beträgt. s(240) = 3 · 240 2 = 172 800m gibt die Höhe der Rakete 240 Sekunden nach dem Start an. Ihre Geschwindigkeit beträgt zu diesem Zeitpunkt v(240) = 6 · 240 = 1 440m/s. 177. Eine Rakete hat eine (konstante) Startbesch ® eunigung von a m/s 2 . Berechne ihre Geschwin- digkeitsänderung im gegebenen Zeitinterva ®® und den zurückge ® egten Weg t Sekunden nach dem Start. a) a = 5,5; [2; 4]; t = 180 c) a = 6,3; [1; 5]; t = 120 b) a = 7; [1; 3]; t = 60 d) a = 7,25; [5; 6]; t = 200 Wird ein Körper t Sekunden ® ang aus dem Stand besch ® eunigt (d. h. seine Anfangsgeschwin- digkeit ist nu ®® ), gibt das Integra ® der Zeit-Besch ® eunigungsfunktion über dem Interva ®® [0; t] die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t an. muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv