Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 61 Weitere Anwendungen der Integralrechnung | Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung Von be ® iebigen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg sch ® ießen Man betrachtet einen Körper, der sich ent ® ang einer gerad ® inigen Bahn bewegt. Eine Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v kann auch negative Werte v(t) in einem Zeitinterva ®® annehmen, was einer Rückwärtsbewegung des Körpers entspricht. 171. Die Geschwindigkeit v (in m/s) eines sich auf einer gerad ® inigen Bahn bewegenden Mode ®® autos wird im Zeitinterva ®® [0; 8] durch die Zeit- Geschwindigkeitsfunktion v(t) (t in Sekunden) mode ®® iert. Der Graph von v ist im nebenstehenden Koordinatensystem dargeste ®® t. Interpretiere die Integra ® e   :  0   5,1   v(t)dt, :  5,1   8 v(t)dt, :  0   8 v(t)dt sowie   :  0   5,1   v(t)dt + |    :  5,1   8 v(t)dt  | in diesem Kontext. Das Integra ®   :  0   5,1   v(t)dt beschreibt den im Zeitinterva ®® [0; 5,1] zurückge ® egten gerad ® inigen Weg des Mode ®® autos, da in [0; 5,1] v(t) immer größer oder g ® eich nu ®® ist. Der Graph von v ver ® äuft im Zeitinterva ®® (5,1; 8) unterha ® b der waagrechten Achse. Das Integra ® :  5,1   8 v(t)dt ist negativ und beschreibt daher den gerad ® inigen Weg des Mode ®® autos in genau entgegensetzter Richtung. Es wird a ® so auf einer geraden Bahn hin und her bewegt und befindet sich zum Zeitpunkt 5,1 weiter vom Startpunkt entfernt a ® s zum Zeitpunkt 8. Betrachtet man nun das Integra ® :  0   8 v(t)dt, wird dadurch die Entfernung des Mode ®® autos vom Startpunkt nach 8 Sekunden beschrieben. Es ist zu beachten, dass in diesem Kontext das Bi ® den des bestimmten Integra ® s über eine Nu ®® ste ®® e hinweg einen sinnvo ®® interpretierbaren Wert ® iefert.   :  0   5,1   v(t)dt + |    :  5,1   8 v(t)dt  | gibt den vom Mode ®® auto insgesamt zurückge ® egten Weg an. Entfernung zweier Orte Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v im Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ] ent ® ang einer gerad ® inigen Bahn, gibt das bestimmte Integra ® |  :  t 1   t 2 v(t)dt  | = | s(t 2 ) – s(t 1 )  | die Entfernung zwischen dem Ort, an dem sich der Körper zum Zeitpunkt t 1 und dem Ort, an dem er sich zum Zeitpunkt t 2 befindet, an. 172. Nebenstehend ist die Geschwindigkeit v(t) eines sich auf einer gerad ® inigen Bahn bewegenden Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t dargeste ®® t (t in Sekunden, v(t) in m/s). a) Gib mitte ® s eines Integra ® s den Weg an, den der Körper im Zeitinterva ®® [0; 10] zurück ® egt. b) Gib mitte ® s eines Integra ® s den Weg an, den der Körper im Zeitinterva ®® [10; 16] zurück ® egt. c) Gib mitte ® s eines Integra ® s den Weg an, den der Körper im Zeitinterva ®® [0; 16] zurück ® egt. d) Gib die Bedeutung des Integra ® s :  8   14 v(t)dt an. muster t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 –2 0 v t v(t) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 –2 – 1 0 v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv