Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

60 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 166. Ein Körper wird gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = ‒ 2 t + 6 (v(t) in m/s, t in Sekunden) ab t = 0 abgebremst. Bestimme die Länge des Wegs, nach dem der Körper zum Sti ®® stand kommt. Markiere im Graphen von v den Bremsweg. Zur Berechnung der Zeitdauer t, die angibt, wie ® ang es dauert, bis der Körper zum Sti ®® stand kommt, ® öst man die G ® eichung v(t) = ‒ 2 t + 6 = 0  w  t = 3 Sekunden. Nach drei Sekunden ist der Körper in Ruhe. Für den Bremsweg w gi ® t: w(0; 3) = ​ :  0 ​  3 ​ v(t)​dt = ​ :  0 ​  3 ​ (‒ 2 t + 6)​dt = ​ ​ ‒ ​t​ 2 ​+ 6 t  1 ​ 0 ​  3 ​= 9m Der Bremsweg ist 9m ® ang. Geometrisch entspricht dem zurückge ® egten Weg der Inha ® t der F ® äche zwischen dem Graphen der Zeit-Geschwindigkeitsfunk- tion v und der waagrechten Zeitachse im Zeitinterva ®® [0; 3]. 167. Ein Körper wird gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v (v(t) in m/s, t in Sekunden) ab t = 0 abgebremst. Bestimme die Länge der Strecke, nach der der Körper zum Sti ®® stand gekommen ist. Interpretiere den berechneten Wert geometrisch. a) v(t) = ‒ 4 t + 12 b) v(t) = ‒ 0,5 t + 3 c) v(t) = – ​  2 _ 3 ​t + 4 d) v(t) = ‒ 4,5 t + 13,5 168. Gegeben ist die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v (D = ℝ + ) eines Körpers. Berechne den im gegebenen Zeitinterva ®® zurückge ® egten Weg und interpretiere ihn geometrisch. (v(t) in m/s, t in Sekunden s) a) v(t) = 0,21 t 2 – 3,2 t + 10; [1; 3] c) v(t) = ‒ 2 t 2 + 17 t + 20; [5; 8] b) v(t) = 0,2 t 2 – 3,8 t + 10; [2; 3] d) v(t) = ‒1,2 t 2 + 12,8 t; [1; 6] 169. Die Geschwindigkeit einer im Zeitinterva ®® [0; t 2 ] bremsenden Straßenbahn wird durch die Funktion v (v(t) in m/s, t in Sekunden) mode ®® iert. Zum Zeitpunkt t 2 kommt die Straßenbahn zum Sti ®® stand. Berechne den Bremsweg der Straßenbahn und deute ihn geometrisch. a) v(t) = ​  1 _  480 ​t 3 – ​  169 _ 120 ​t + 14; [0; 14] c) v(t) = ​  7 _  1 440 ​t 3 – ​  17 _  144 ​t 2 – ​  19 _  180 ​t + 12; [0; 16] b) v(t) = ​  23 _  2700  ​t 3 – ​  503 _  2700  ​t 2 – ​  17 _  90 ​t + 16; [0; 15] d) v(t) = ​  23 _  420 ​t 3 – ​  4 _ 7 ​t 2 – ​  47 _  420 ​t + 10; [0; 7] 170. Gegeben ist der Graph einer Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v. Die Geschwindigkeit v wird in m/s gemessen, die Zeit t in Sekunden. Bestimme im dargeste ®® ten Zeitinterva ®® [0; t] die Länge des zurückge ® egten Wegs. a) c) b) d) muster t v(t) 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 0 v ​ :  0 ​  3 ​ v(t) ​ dt Ó Arbeitsb ® att Weg – Geschwindigkeit c645i7 AN 4.3 t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0 v t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0 v t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0 v t v(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 0 v Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv