Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 59 kompe- tenzen 3.2 Weg – Geschwindigkeit – Besch ® eunigung Lernzie ® e: º º Den zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückge ® egten Weg aus einer Geschwindigkeitsfunktion ermitte ® n können º º Die Momentangeschwindigkeit aus einer Besch ® eunigungsfunktion ermitte ® n können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 4.3 Das bestimmte Integra ® in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Integra ® e beschreiben können In Kapite ® 2.2 wurde das bestimmte Integra ® einer Funktion f auf einem Interva ®® [a; b] a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten definiert: ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx ≈ ​ ;  i ​  ​ f(​x​ i ​) · Δ x​. Betrachtet man nun statt der a ®® gemeinen Funktion f die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v, die jedem Zeitpunkt t in einem Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ] die Geschwindigkeit v(t) º 0 zuordnet, dann wird durch das bestimmte Integra ® ​ :  ​t​ 1 ​ ​  ​t​ 2 ​ ​ v(t)​dt ≈ ​ ;  i ​  ​ v(​t​ i ​)​· Δ t der in diesem Interva ®® zurückge ® egte Weg beschrieben, da „Weg = Geschwindigkeit ma ® Zeit“ gi ® t. 165. Gegeben sind die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v und ein Zeitinterva ®® [t 1  ; t 2  ]. (Geschwindig- keit v(t) in m/s, Zeit t in Sekunden). Gib näherungsweise die Länge des in dem Zeitinterva ®® zurückge ® egten Wegs an, der in der Graphik durch eine Unter- bzw. Obersumme dargeste ®® t ist. a) v(t) = ‒ 3 t + 10; [0; 3] b) v(t) = 8 t – 1; [1; 4] c) v(t) = 15 t 2 – 4 t + 2; [1; 3] Von nicht-negativen Zeit-Geschwindigkeitsfunktionen auf den Weg sch ® ießen Ein Körper bewegt sich auf einer gerad ® inigen Bahn. Das bestimmte Integra ® einer Zeit- Geschwindigkeitsfunktion v mit nicht negativen Funktionswerten v(t) in einem Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ] gibt den in diesem Zeitinterva ®® gerad ® inig zurückge ® egten Weg an. Der Weg kann nach dem Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung mithi ® fe einer Stammfunktion von v (​ :  ​  ​ v(t)​dt = s(t) + c) exakt berechnet werden. Integra ® der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion Beschreibt eine Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v die Geschwindigkeit v(t) eines Körpers zum Zeitpunkt t in einem Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ] und ist im betrachteten Zeitraum v(t) größer oder g ® eich nu ®® , gi ® t für den im Zeitinterva ®® zurückge ® egten Weg w(t 1  ; t 2 ) (s … Zeit-Ort-Funktion): w(t 1 ; t 2 ) = ​ :  ​t​ 1 ​ ​  ​t​ 2 ​ ​ v(t)​dt = s(​t​ 2 ​) – s(​t​ 1 ​) vorwissen t v(t) 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 0 v t v(t) 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 0 v t v(t) 1 2 3 20 40 60 80 100 120 0 v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv