Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

57 Weitere Anwendungen der Integralrechnung | Volumenberechnungen 2) Es müssen die neuen Grenzen bezüg ® ich der y-Achse berechnet werden: f(2) = 1,8 bzw. f(4) = 4,2. Bei der Drehung um die y-Achse gi ® t: V = π · :  1,8   4,2 x 2 dy. Da f im gegebenen Interva ®® eine Umkehrfunktion besitzt, kann man x ausdrücken: y =   x 2 _  5 + 1 w x = 9 ____ 5 y – 5 w x 2 = 5 y – 5 w V = π ·   :  1,8   4,2    x 2 dy = π ·   :  1,8   4,2   (5 y – 5)dy = 24 π 155. Der Graph der Funktion f rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Vo ® umen des entstehenden Drehkörpers. a) f(x) =   x 2 _  4 + 1 mit 2 ª x ª 4 c) f(x) = ‒   x 2 _  2 + 6 mit 0 ª x ª 2 e) f(x) = 9 _ x+ 2 mit 1 ª x ª 4 b) f(x) = 2 x 2 + 3 mit 0 ª x ª 5 d) f(x) =   x 2 _  5 + 1 mit 5 ª x ª 10 f) f(x) = 2 9 _ x+ 3 mit 4 ª x ª 9 156. Das F ® ächenstück, we ® ches vom gegebenen Kege ® schnitt und der x-Achse eingesch ® ossen wird, rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Vo ® umen des entstehenden Drehkörpers. a) x 2 + y 2 = 9 c) 4x 2 + 9y 2 = 36 e) 9x 2 + 25y 2 = 225 b) x 2 + y 2 = 16 d) 9x 2 + 16y 2 = 144 f) x 2 + 4y 2 = 16 157. a) Ein Kreis mit der G ® eichung x 2 + y 2 = r 2 rotiert um die x-Achse. Der entstehende Rotations- körper ist eine Kuge ® . Leite die Forme ® für das Vo ® umen einer Kuge ® her. b) Eine E ®® ipse mit der G ® eichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Leite eine Forme ® für die Berechnung des Vo ® umens des entstehenden Rotationskörpers (E ®® ipsoid) her. 158. Die innere Begrenzung eines G ® ases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) = a · 9 _ xum die x-Achse. Die innere Höhe des G ® ases ist h cm, der innere Radius ist r cm. 1) Ste ®® e eine passende Funktionsg ® eichung auf. 2) Berechne, wie vie ® Liter Wasser in dieses G ® as passen, wenn das Wasser bis 1 cm unter den Rand gefü ®® t wird. a) h = 16 cm; r = 3 cm b) h = 25 cm; r = 4 cm c) h = 4 cm; r = 6 cm 159. Die innere Begrenzung eines 30 cm hohen G ® ases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f mit f(x) =   1 _ 5 x 2 um die y-Achse. In das G ® as wird Wasser gefü ®® t. Berechne die Wasserhöhe, wenn man einen ha ® ben Liter Wasser in das G ® as fü ®® t. Da die Funktion um die y-Achse rotiert, muss zuerst auf x 2 umgeformt werden: y =   1 _ 5 x 2 w x 2 = 5 y Da man einen ha ® ben Liter Wasser in das G ® as fü ®® t, ist das Vo ® umen V = 0,5 Liter gegeben. Wande ® t man das Vo ® umen in cm 3 um, kann man mit Hi ® fe der gegebenen G ® eichung die Höhe berechnen: V = 0,5 ® = 0,5 dm 3 = 500 cm 3 w 500 = π · :  0   h 5 ydy w 500 = π ·   5 h 2 _ 2  Durch Lösen der G ® eichung erhä ® t man: h = ± 9 __   200 _ π    ≈ ± 8 Da nur der positive Wert in Frage kommt, beträgt die Wasserhöhe ca. 8 cm. 160. Die innere Begrenzung eines 30 cm hohen G ® ases entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f um die y-Achse. In das G ® as wird Wasser gefü ®® t. Berechne die Wasserhöhe, wenn man k Liter Wasser in das G ® as fü ®® t. a) f(x) =   1 _ 3 x 2 k = 0,5 c) f(x) =   5 _ 6 x 2 + 2 k = 1,2 b) f(x) =   3 _ 8 x 2 k = 1 d) f(x) =   2 _ 3 x 2 + 1 k = 0,875 muster Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv