Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 56 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 152. Betrachte die Graphen aus der Tabe ®® e von S. 55 und berechne das Vo ® umen a) des Zy ® inders. b) des Kege ® s. c) der Kuge ® . 153. Berechne das Vo ® umen des Drehkörpers, der entsteht, wenn sich der Graph der Funktion f im gegebenen Interva ®® um die gegebene Achse dreht. a) f(x) = 2; [‒ 3; 2]; x-Achse c) f(x) = 4 x; [0; 5]; y-Achse e) f(x) = 2 x + 1; [2; 5]; y-Achse b) f(x) = ‒ 4; [5; 8]; x-Achse d) f(x) = ‒ 2 x; [2; 5]; x-Achse f) f(x) = x + 2; [3; 5]; x-Achse Rotation um die x-Achse In nebenstehender Abbi ® dung ist der Graph der Funktion f mit y = f(x) dargeste ®® t. Rotiert dieser Graph nun in [a; b] um die x-Achse, so kann der F ® ächeninha ® t der Querschnittsf ® äche an jeder Ste ®® e x durch einen Kreis beschrieben werden, dessen Radius der Funktionswert an der Ste ®® e x ist. Es gi ® t daher: A = r 2 π w A(x) = f(x) 2 π = y 2 π Für das Vo ® umen des Drehkörpers in [a; b] fo ® gt: V = :  a   b A(x)dx = π · :  a   b y 2 dx Rotation um die y-Achse Rotiert der Funktionsgraph nun um die y-Achse, so ist die Quer schnittsf ® äche von y abhängig. Für den Radius des Kreises in der Höhe y gi ® t daher r = f*(y) = x, wobei f* die Umkehrfunktion von f ist: A = r 2 π w A(y) = f*(y) 2 π = x 2 π Für das Vo ® umen des Rotationskörpers (c ª y ª d) fo ® gt: V = :  c   d A(y)dy = π · :  c   d x 2 dy Vo ® umina von Rotationskörpern: Für das Vo ® umen eines Rotationskörpers, der durch Drehung des Graphen einer Funktion f mit f(x) = y entsteht, gi ® t: Drehung um die x-Achse (a ª x ª b): Drehung um die y-Achse (c ª y ª d): V = π · :  a   b y 2 dx V = π · :  c   d x 2 dy 154. Der Graph der Funktion f mit f(x) =   x 2 _  5 + 1 mit 2 ª x ª 4 rotiert um die 1) x-Achse 2) y-Achse. Berechne das Vo ® umen des entstehenden Drehkörpers. 1) Bei der Drehung um die x-Achse gi ® t: V = π · :  2   4 y 2 dx. Setzt man nun f(x) = y, erhä ® t man y 2 durch y 2 = 2    x 2 _  5 + 1  3 2 =   x 4 _ 25 +   2 x 2 _ 5  + 1. w V = π · :  2   4 y 2 dx = π · :  2   4 2    x 4 _ 25 +   2x 2 _  5  + 1  3 dx = 17,4 π x f(x) b a f f(x) x x f(x) c d f f(x) x muster Ó Techno ® ogie An ® eitung Vo ® umen berechnungen sc52gz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv