Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

55 Weitere Anwendungen der Integralrechnung |  Volumenberechnungen 149. Der Innenraum eines h cm hohen Gefäßes besitzt in jeder Höhe z eine annähernd recht- eckige Querschnittsf ® äche. Die Breite des Gefäßes in der Höhe z ist durch b(z) gegeben. Die Länge ist am Boden a cm, am oberen Rand c cm und sie nimmt ® inear zu. Berechne das Vo ® umen des Innenraums. a) b(z) = ​  6 _  25 ​z + 15; h = 50; a = 15; c = 30 c) b(z) = ​  1 _  320 ​z​ 2 ​+ 15; h = 40; a = 11; c = 25 b) b(z) = ​  2 _ 5 ​z + 38; h = 95; a = 45; c = 85 d) b(z) = ​  1 _  256  ​z​ 2 ​+ 35; h = 80; a = 25; c = 40 150. a) Leite die Forme ® für das Vo ® umen eines Zy ® inders mit der Höhe h und dem Radius r mit Hi ® fe der Integra ® rechnung her. Beachte, dass die Querschnittsf ® äche konstant ist. b) Leite die Forme ® für das Vo ® umen eines Kege ® s mit der Höhe h und dem Radius r her. Ste ®® e dafür die Funktionen r(z) (für den Radius) und A(z) (für die Querschnittsf ® äche) auf. 151. Die horizonta ® e Querschnittsf ® äche einer Parfümf ® asche ist rechteckig. Die Länge am unteren Ende der F ® asche ist 8 cm, die Breite 4 cm. Am oberen Ende ist die Länge 2 cm und die Breite 1 cm (der Versch ® uss wird vernach ® ässigt). Berechne, wie vie ® m ® Parfüm in diese F ® asche passen, wenn angenommen wird, dass die Länge und die Breite ® inear abnehmen und die Parfümf ® asche 15 cm hoch ist. Vo ® umina von Rotationskörpern Lässt man eine Kurve um eine Achse drehen (z. B. um eine Koordinatenachse), so entsteht ein Rotationskörper. In der ersten Graphik (unten) sieht man einen Abschnitt einer kons- tanten Funktion, der sich um die x-Achse dreht. Es entsteht ein Zy ® inder. In der zweiten Graphik dreht sich ein Tei ® einer ® inearen Funktion um die y-Achse. Es entsteht ein Kege ® . Rotiert ein Ha ® bkreis um die x-Achse, entsteht eine Kuge ® (dritte Graphik). Zy ® inder Kege ® Kuge ® x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f 2 4 –2 z x 2 4 4 6 6 –4 –4 2 –2 –4 y 2 4 –2 z x 4 8 8 12 12 –8 –4 4 –4 –8 y 4 8 –4 z x 4 8 8 12 12 –8 4 –4 –8 y h r A(z) h r A(z) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv