Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 54 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 3 Vo ® umina von Körpern mit bekannter Querschnittsf ® äche Ist A(z) der F ® ächeninha ® t der Querschnittsf ® äche eines Körpers in der Höhe z (a ª z ª b) und A stetig in [a; b], dann gi ® t für das Vo ® umen V des Körpers in [a; b]: V = :  a   b A(z)dz 145. Die horizonta ® e Querschnittsf ® äche des abgebi ® deten Körpers ist in jeder Höhe z (0 ª z ª 30) ein rege ® mäßiges Sechseck mit der Seiten ® änge a(z) = ‒   1 _  180 z 2 + 5. Berechne das Vo ® umen des Körpers. Zuerst muss die Querschnittsf ® äche in Abhängigkeit von der Höhe z berechnet werden. Den F ® ächeninha ® t eines rege ® mäßigen Sechsecks kann man mit A =   3 · a 2 · 9 _ 3 __ 2  berechnen. Daher gi ® t für die Querschnittsf ® äche: A(z) =   3 · 2  ‒   1 _  180 z 2 + 5  3 2 · 9 _ 3 ___ 2  Durch Einsetzen ins Integra ® erhä ® t man das gewünschte Vo ® umen: V = :  0   30 2    3 · 2  ‒   1 _  180 z 2 + 5  3 2 · 9 _ 3 ___ 2    3 dz = 1 039,23 146. Die horizonta ® e Querschnittsf ® äche eines Körpers ist in jeder Höhe z ein rege ® mäßiges Sechseck mit der Seiten ® änge a(z). Berechne das Vo ® umen des Körpers. a) a(z) = ‒ 2 z + 80 0 ª z ª 40 c) a(z) = ‒   6 _  1 250 z 2 + 12 0 ª z ª 50 b) a(z) = ‒ 2 z + 60 0 ª z ª 30 d) a(z) = ‒   7 _  2 025 z 2 + 7 0 ª z ª 45 147. Die Querschnittsf ® äche eines Ze ® ts ist in jeder Höhe z ein Quadrat mit der Seiten ® änge a(z). Berechne das Vo ® umen des Körpers. (Maße in Meter m) a) a(z) = ‒   4 _ 3 9 _ z+ 4 b) a(z) = ‒   7 _ 5 9 _ z+ 7 Beachte, dass an der Spitze des Ze ® ts a(z) = 0 ge ® ten muss. 148. Der Innenraum eines 50 cm hohen Gefäßes besitzt in jeder Höhe z eine rechteckige Querschnittsf ® äche. Die Breite des Gefäßes in der Höhe z ist durch b(z) =   3 _  500 z 2 + 15 gegeben. Die Länge ist am Boden 12 cm, am oberen Rand 25 cm und sie nimmt ® inear zu. Berechne das Vo ® umen des Innenraums. Um die Querschnittsf ® äche zu berechnen, muss zuerst eine Funktion für die Länge ® (z) aufgeste ®® t werden. Da die Länge ® inear zunimmt, wird eine Funktion der Form ® (z) = k · z + d gesucht. Da die Länge am Boden 12 cm ist, gi ® t ® (0) = 12. In einer Höhe von 50 cm ist sie 25 cm. Daher gi ® t ® (50) = 25. Setzt man nun diese Informati- onen jewei ® s in ® (z) = k · z + d ein und ® öst das G ® eichungssystem, erhä ® t man ® (z) =   13 _ 50 z + 12. Da die Querschnittsf ® äche ein Rechteck ist, gi ® t: A(z) = ® (z) · b(z) = 2    13 _ 50 z + 12  3 · 2    3 _  500 z 2 + 15  3 w V = :  0   50 2    13 _ 50 z + 12  3 · 2    3 _  500 z 2 + 15  3 dz = 19 312,5 cm 3 muster TIPP muster h z Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv