Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

53 kompe- tenzen 3.1 Vo ® umenberechnungen Lernzie ® e: º º Das Vo ® umen eines Körpers mit Hi ® fe der Integra ® rechnung berechnen können º º Das Vo ® umen von Rotationskörpern berechnen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 4.3 Das bestimmte Integra ® in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Integra ® e beschreiben können 143. Berechne das Vo ® umen eines Prismas mit der Höhe h. Die Grundf ® äche sei rechteckig mit den Seiten ® ängen a und b. a) a = 3 cm; b = 4 dm; h = 2,5 cm b) a = 3,4 cm; b = 2,5 dm; h = 2,34m 144. Ordne jedem Körper (bei üb ® icher Beschriftung) eine passende Vo ® umsforme ® zu. 1 Zy ® inder A V = r 2 π h 2 Kege ® B V = a bh 3 Kuge ® C V = ​  4r 3 π _ 3  ​ 4 Quader D V = ​  ah _ 3  ​ E V = ​  r 2 π h _ 3  ​ F V = 2 r 2  π Vo ® umina von Körpern mit bekannter Querschnittsf ® äche Im Kapite ® 2 wurden schon Anwendungen des bestimmten Integra ® s erarbeitet. Dabei wurde das Integra ® a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x) · Δ x interpretiert. Diese Interpretation kann auch zur Berechnung des Vo ® umens eines Körpers verwendet werden. Betrachtet man nebenstehende Abbi ® dung, so kann man für die Vo ® umenberechnung wie fo ® gt vorgehen: –– Man untertei ® t die Höhe des Körpers in n g ® eich große Interva ®® e der Länge Δ z. –– Ansch ® ießend wird in jedem Interva ®® eine Zwischenste ®® e z gewäh ® t und die Querschnittsf ® äche A(z) betrachtet. –– Mitte ® s A(z) · Δ z wird das Vo ® umen des jewei ® igen durch die Untertei ® ung entstandenen Prismas berechnet. Dies ist eine Annäherung an das tatsäch ® iche Vo ® umen im jewei ® igen Interva ®® . –– Wird nun die Summe der einze ® nen Vo ® umina berechnet, erhä ® t man eine Annäherung an das Körpervo ® umen durch V ≈ ​ ;  ​  ​ A(z) · Δ z​. Lässt man die Interva ®® e immer k ® einer werden, entsteht eine Summe von Produkten, deren Grenzwert wieder zum bestimmten Integra ® und somit zum exakten Vo ® umen des Körpers führt. vorwissen h A(z) Δ z z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv