Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

47 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 123. Eine Bungee-Jumperin springt von einer K ® ippe. Der Sprung besteht aus zwei Tei ® en: einer Besch ® eunigungsphase, während der das Sei ® noch ® ose ist und einer Abbremsphase, in der das Sei ® gespannt wird. Die beiden Phasen werden durch die Zeit-Geschwindigkeits- funktionen v 1 und v 2 beschrieben (t in Sekunden, v in m/s): v 1 (t) = ‒ 6,5 · t 3 + 14,2 · t 2 + 9 · t für t * [0; 1,75] v 2 (t) = 4 · t 3 – 34,3 · t 2 + 82,22 · t – 35,85 für t * [1,75; 3,75] Die fo ® gende Abbi ® dung zeigt die Graphen der Funktionen sowie die beiden Punkte P und Q. a) Der F ® ächeninha ® t unter dem Graphen der Funktion v 2 so ®® durch Ober- und Untersummen angenähert werden. Dazu wird das Zeitinterva ®® [1,75; 3,75] in vier g ® eich große Tei ® e getei ® t. Berechne den Unterschied zwischen der Ober- und der Untersumme bei einer so ® chen Zer ® egung des Interva ®® s und interpretiere den erha ® tenen Wert im Kontext. b) Die Funktion v 1 mode ®® iert die Besch ® eunigungsphase im Zeitinterva ®® [0,4; 1,75] durch eine Po ® ynomfunktion 3. Grades. Ein ® ineares Mode ®® ist in der Abbi ® dung durch den Graphen einer Geraden eingezeichnet. Der Weg, den die Bungee-Jumperin im Zeitinterva ®® [0,4; 1,75] zurück ® egt, ® ässt sich mit beiden Mode ®® en bestimmen. Berechne, um wie vie ® Meter sich der Wert für diesen Weg bei Berechnung mit dem ® inearen Mode ®® von jenem unterscheidet, den man mit dem Mode ®® der Po ® ynomfunktion erhä ® t. Ste ®® e die erha ® tene Zah ® in der obigen Abbi ® dung dar. c) Unter der Dichte ρ eines Gegenstands versteht man seine Masse m pro Vo ® umeneinheit V, a ® so ρ = ​  m _  V ​(in kg/m 3 ). Bei konstanter Dichte kann man die Masse des Bungee-Sei ® s durch m = ρ ·V = ρ ·A· L berechnen, wobei A der F ® ächeninha ® t der Querschnittsf ® äche des Sei ® s und L seine Länge bedeuten. Wenn das Bungee-Sei ® komp ® ett gespannt ist, wird es an verschiedenen Ste ®® en unterschied ® ich stark auseinandergezogen. Seine Querschnittsf ® äche A ist dann nicht konstant, sondern von der jewei ® igen Position ® ent ® ang des Sei ® s abhängig (A = A( ® )). Durch Tei ® en des Sei ® s in Abschnitte mit der Länge Δ® und Berechnen von Ober- oder Untersummen ® ässt sich ein Näherungswert für die Masse angeben. Die Dichte ρ wird dabei a ® s konstant angenommen. Gib einen mathematischen Ausdruck an, mit dem man die Masse des Bungee-Sei ® s in gespanntem Zustand bei bekannter Funktion A exakt berechnen kann. t v 1 (t), v 2 (t) P = (0,4 1 6) P = (1,75 1 24,4) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5 10 15 20 25 0 v 1 v 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv