Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

46 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Ober- und Untersummen Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Zer ® egt man das Interva ®® [a; b] in n g ® eich große Tei ® interva ®® e der Breite Δ x =   b – a _ n  und bezeichnet mit m 1 , m 2 , …, m n die Minimumste ®® en und mit M 1 , M 2 , …, M n die Maximumste ®® en von f in den einze ® nen Interva ®® en, dann nennt man –– U n = Δ x · f(m 1 ) + Δ x · f(m 2 ) + … + Δ x · f(m n ) = ;  i = 1   n Δ x · f(m i ) Untersumme von f in [a; b]. –– O n = Δ x · f(M 1 ) + Δ x · f(M 2 ) + … + Δ x · f(M n ) = ;  i = 1   n Δ x · f(M i ) Obersumme von f in [a; b]. Das bestimmte Integra ® Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das Integra ® von f in [a; b] a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gi ® t: ;  i   f(x i )· Δ x ≈ :  a   b f(x)dx Das bestimmte Integra ® :  a   b f(x)dx ist jener Wert, der zwischen a ®® en Unter- und Obersummen von f in [a; b] ® iegt. Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gi ® t: (1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. (2) :  a   b f(x)dx = F(b) – F(a) Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e Für zwei auf [a; b] stetige Funktionen f und g und eine Stammfunktion F von f und eine ree ®® e Zah ® k ≠ 0 gi ® t: Summen- und Differenzenrege ® : Rege ® vom konstanten Faktor: Konstantenrege ® : :  a   b (f(x) ± g(x))dx = :  a   b f(x)dx ± :  a   b g(x)dx :  a   b k · f(x)dx = k · :  a   b f(x)dx :  a   b f(k · x) dx=   1 _ k · F(k · x)  1 a   b Weitere Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e (1) :  a   b f(x)dx + :  b   c f(x)dx = :  a   c f(x)dx (2) :  a   b f(x)dx = ‒ :  b   a f(x)dx (3) :  a   a f(x)dx = 0 F ® ächeninha ® t zwischen zwei Funktionsgraphen Seien f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen mit f(x) º g(x) für a ®® e x * [a; b], dann berechnet man den F ® ächeninha ® t, der von den beiden Graphen von f und g im Interva ®® [a; b] begrenzt wird, durch: A = :  a   b [f(x) – g(x)]dx Das uneigent ® iche Integra ® Integra ® e der Form ® im  b ¥ • :  a   b f(x)dx bzw.   ® im    a ¥ ‒ • :  a   b f(x)dx werden uneigent ® iche Integra ® e genannt. Existiert der Grenzwert, dann schreibt man: ® im  b ¥ • :  a   b f(x)dx =   :  a   •   f(x)dx bzw. ® im  a ¥ ‒ • :  a   b f(x)dx = :  ‒ •   b f(x)dx zusammenfassung x y a b f g Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv