Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie Merke 45 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Berechnung von Flächeninhalten 120. Gegeben sind die beiden Funktionen f mit f(x) = ‒ x 2 + 9 und g mit g(x) = x 2 – 9. Begründe, dass man den F ® ächeninha ® t, den die beiden Funktionsgraphen miteinander einsch ® ießen, mit der Forme ® 4 · :  ‒3   0 f(x)dx berechnen kann. Uneigent ® iche Integra ® e Uneigent ® iche Integra ® e Integra ® e der Form ® im  b ¥ • :  a   b f(x)dx bzw.   ® im    a ¥ ‒ • :  a   b f(x)dx werden uneigent ® iche Integra ® e genannt. Existiert der Grenzwert, dann schreibt man: ® im  b ¥ • :  a   b f(x)dx = :  a   • f(x)dx bzw.   ® im     a ¥ ‒ • :  a   b f(x)dx = :  ‒ •   b f(x)dx 121. Berechne den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit f(x) =   1 _  x 2 für x º 2 mit der x-Achse einsch ® ießt. Es wird der Grenzwert von ® im  b ¥ • :  2   b f(x)dx berechnet: ® im  b ¥ • :  2   b x ‒2 dx = ® im  b ¥ • 2  ‒ x ‒1   1 2   b   3 = ® im  b ¥ • 2  ‒   1 _ b +   1 _ 2   3 =   1 _ 2 Anmerkung: Es ist zu beachten, dass es keinen Grenzwert geben muss. Bei uneigent ® ichen Integra ® en ist es auch mög ® ich, dass beide Integrationsgrenzen im Unend ® ichen ® iegen bzw. dass die Funktion an einer Integrationsgrenze undefiniert ist. Diese Fä ®® e werden hier a ®® erdings nicht behande ® t. Berechnung eines uneigent ® ichen Integra ® s einer Funktion f in [a; • ] GeoGebra: Integra ® [f, a, • ] Beispie ® : Integra ® 4    1 _  x 2 , 2, •  5 TI-Nspire:   :  a   •   f(x) d x Beispie ® : :  2   • 1 _  x 2 dx 122. Berechne das uneigent ® iche Integra ® . a) :  2   • ‒ 2 _  x 2 dx c) :  ‒ •   ‒3 2 _  x 2 dx e) :  3   • e ‒x dx g) :  0   • ‒ 3e ‒x dx b) :  1   • 3 _  x 3 dx d) :  ‒ •   ‒1 3 _  x 3 dx f) :  4   • e ‒2x dx h) :  ‒ •   1 ‒ 2e 2x dx AN 4.3 muster x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 – 1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 f Ó An ® eitung Uneigent ® iches Integra ® hu958w Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv