Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie Merke 43 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Berechnung von Flächeninhalten Zuerst wird der größere F ® ächeninha ® t berechnet (rot): :  a   b f(x)dx Ansch ® ießend wird der k ® einere F ® ächeninha ® t berechnet (b ® au): :  a   b g(x)dx Den gesuchten Inhalt der grünen F ® äche erhä ® t man nun durch Subtraktion der beiden Ergebnisse: A = :  a   b f(x)dx – :  a   b g(x)dx f g x y a b f g x y a b f g x y a b Der Ausdruck A = :  a   b f(x)dx – :  a   b g(x)dx kann zu A = :  a   b (f(x) – g(x))dx vereinfacht werden. Man bi ® det die Differenz aus den F ® ächeninha ® ten unter der „oberen“ und der „unteren“ Funktion. F ® ächeninha ® t zwischen zwei Funktionsgraphen Seien f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen mit f(x) º g(x) für a ®® e x * [a; b]. Dann berechnet man den F ® ächeninha ® t, der von den beiden Graphen von f und g im Interva ®® [a; b] begrenzt wird, durch: A = :  a   b [f(x) – g(x)]dx Beweis: Sind die Funktionswerte von f und g in [a; b] positiv, so ist der obige Satz k ® ar (vg ® . Abbi ® dungen oben). Sind Funktionswerte von f oder g in [a; b] negativ, so kann man in Gedanken beide Funktionen um c Einheiten nach oben verschieben: A = :  a   b [f(x) + c]dx – :  a   b [g(x) + c]dx = :  a   b [f(x) + c – g(x) – c]dx A = :  a   b [f(x) – g(x)]dx w F ® ächeninha ® t b ® eibt g ® eich F ® ächeninha ® t zwischen f und g in [a; b] mit f(x) º g(x) für a ®® e x * [a; b] GeoGebra: Integra ® Zwischen[f, g, a, b] TI-NSpire:   :  a   b   ( f(x) – g(x) ) d x 112. Berechne den F ® ächeninha ® t, der von den Graphen der beiden Funktionen f und g begrenzt wird. f(x) = x 3 – 3x 2 + 2 g(x) = x – 1 1. Für die Integrationsgrenzen: x-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen: f(x) = g(x) w x 3 – 3x 2 + 2 = x – 1 w x 1 = ‒1 x 2 = 1 x 3 = 3 2. In [‒1; 1] ® iegt der Graph von f „über“ dem Graphen von g und in [1; 3] der Graph von g „über“ dem Graphen von f w A = :  ‒1   1 (f – g)dx + :  1   3 (g – f)dx = :  ‒1   1 (x 3 – 3x 2 + 2 – x + 1)dx + :  1   3 (x – 1 – x 3 + 3x 2 – 2)dx = = :  ‒1   1 (x 3 – 3x 2 – x + 3)dx + :  1   3 (‒ x 3 + 3x 2 + x – 3)dx = 4 + 4 = 8 x y c a c b f + c f g + c g Ó Techno ® ogie An ® eitung F ® ächeninha ® te zwischen f und g 4j7773 muster x 1 2 3 4 –2 – 1 1 2 –3 –2 – 1 0 f g y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv