Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

41 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Berechnung von Flächeninhalten 103. Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt und skizziere den Graphen von f sowie den gesuchten F ® ächeninha ® t. a) f(x) = x 2 – 2 x – 3 d) f(x) = x 3 – 9 x g) f(x) = x 3 – 2x 2 – 25 x + 50 b) f(x) = x 2 – 11 x + 18 e) f(x) = ‒ x 3 + 2x 2 + 8 x h) f(x) = x 3 – 4x 2 – x + 4 c) f(x) = ‒ x 2 + 1 f) f(x) =   1 _  10 · (x 3 + 6x 2 – 7x) i) f(x) = x 3 – 5x 2 – 4 x + 20 104. Gegeben sind die Funktion f und das Interva ®® [a; b]. Bestimme den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im gegebenen Interva ®® einsch ® ießt. a) f(x) = ‒ 2 x + 4 [0; 4] d) f(x) = x 2 – x – 12 [‒ 5; 1] b) f(x) = ‒ 6 x + 2 [‒1; 3] e) f(x) = x 3 – 36 x [‒7; 0] c) f(x) =   1 _ 2 (x 2 – 2 x – 8) [‒ 3; 2] f) f(x) = x 3 – 5 x 2 – 14 x [‒ 2; 1] 105. Der F ® ächeninha ® t eines Kirchenfensters kann durch den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f im gegebenen Interva ®® mit der x-Achse einsch ® ießt, mode ®® iert werden. Berechne den F ® ächeninha ® t des Fensters. a) f(x) = x 2 + 3 [‒ 4; 4] b) f(x) = 2x 2 + 1 [‒ 3; 3] 106. Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. a) f(x) = x 3 – x 2 – 8 x + 12 c) f(x) = x 4 – 18x 2 + 81 b) f(x) = x 4 – 9 x 2 d) f(x) = x 4 + 9x 3 + 23x 2 + 3 x – 36 Bei dieser Aufgabe kann man den F ® ächeninha ® t mit nur einem Integra ® berechnen. 107. Gegeben ist die Funktion f. Bestimme den Parameter a so, dass der Graph von f in [0; a] mit a > 0 den F ® ächeninha ® t A mit der x-Achse einsch ® ießt. a) f(x) = x + 3 A = 20 c) f(x) = 0,5 x 2 A = 7,5 e) f(x) = 9 _ x A = 18 b) f(x) = ‒ 4 x + 8 A = 7,5 d) f(x) = 0,25 x 3 A = 81 f) f(x) = 0,2x 5 A = 522 108. Gegeben sind die Funktion f und das Interva ®® [a; b]. Bestimme den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im gegebenen Interva ®® einsch ® ießt. a) f(x) = 9 ____ 2 x + 3 [‒1; 4] c) f(x) = x · e 2x [‒1; 2] e) f(x) = 2 x · sin(3 x) [0; 2] b) f(x) = 3 9 _____ ‒ 2 x + 4 [0; 4] d) f(x) = ‒ 3 x · e ‒4x [‒1; 2] f) f(x) = ‒ 3 x · cos(2 x) [0; 2] 109. Gegeben ist der Graph einer Po ® ynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A ist der F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. A :  ‒3   2 f(x)dx > :  ‒2   2 f(x)dx  B A = :  ‒3   2 f(x)dx  C   :  ‒3   ‒2    f(x)dx ist der F ® ächeninha ® t zwischen dem Graphen von f und der x-Achse in [‒3; ‒2].  D :  ‒2   2 f(x)dx < 0  E :  ‒3   ‒2 f(x)dx > 0  TIPP Ó Arbeitsb ® att F ® ächen berechnungen – Maturaformate h9qe2h x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 – 1 5 10 – 15 – 10 –5 0 f AN 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv