Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

40 kompe- tenzen 2.4 Berechnung von F ® ächeninha ® ten Lernzie ® e: º º Den F ® ächeninha ® t berechnen können, den ein Funktionsgraph mit der x-Achse einsch ® ießt º º Den F ® ächeninha ® t zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 4.3 Das bestimmte Integra ® in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Integra ® e beschreiben können Der F ® ächeninha ® t zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse Wie in 2.2 gezeigt, ist das bestimmte Integra ® a ® s eine Summe von Produkten der Form ;  i   f(x i )· Δ x interpretierbar. Nimmt eine Funktion in einem Interva ®® keine negativen Werte an, so kann man das bestimmte Integra ® ohne Prob ® eme zur F ® ächenberechnung verwenden. Nimmt eine Funktion f (vg ® . Abbi ® dung) sowoh ® positive a ® s auch negative Werte in einem Interva ®® an, kann der F ® ächeninha ® t in diesem Interva ®® auf fo ® gende Art berechnet werden: 1. Es werden a ®® e Nu ®® ste ®® en von f in [a; b] bestimmt. Die Funktion f besitzt die Nu ®® ste ®® en c und d in [a; b]. 2. An der Skizze von f erkennt man: A 1 und A 3 ® iegen im positiven, A 2 im negativen Bereich. 3. Durch Berechnung des Integra ® s :  a   b f(x)dx erhä ® t man den Wert A 1 – A 2 + A 3 und somit nicht den gesuchten F ® ächeninha ® t. Man muss jeden F ® ächeninha ® t einze ® n berechnen und negative Integra ® e „positiv machen“. Den gesuchten F ® ächeninha ® t könnte man z. B. auf fo ® gende Arten berechnen: A(a; b) = :  a   c f(x)dx – :  c   d f(x)dx + :  d   b f(x)dx (= A 1 – (‒ A 2 ) + A 3 = A 1 + A 2 + A 3 ) A(a; b) = :  a   c f(x)dx + |  :  c   d f(x)dx  | + :  d   b f(x)dx (= A 1 + | ‒ A 2   | + A 3 = A 1 + A 2 + A 3 ) Anmerkung: † † sind Betragsstriche. Ein negatives Ergebnis wird dadurch positiv. 102. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =   1 _  4 · (x 3 + 4x 2 – 20 x – 48). Bestimme den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. Zuerst werden die Nu ®® ste ®® en entweder durch Po ® ynomdivision oder mithi ® fe von Techno ® ogie berechnet: 0 = f(x) =   1 _ 4 · (x 3 + 4x 2 – 20 x – 48) w x 1 = ‒ 6 x 2 = ‒ 2 x 3 = 4 Mithi ® fe der Zeichnung erkennt man, dass die zweite F ® äche im negativen Bereich ® iegt. Es gi ® t daher: A(‒ 6; 4) = :  ‒6   ‒2 1 _ 4 · (x 3 + 4x 2 – 20 x – 48)dx + + |    :  ‒2   4 1 _ 4 · (x 3 + 4x 2 – 20 x – 48)dx  | = 21,3 + † ‒ 63 † = 21,3 + 63 = 84,3 x f(x) b d a c 0 f A 1 A 2 A 3 muster Ó Techno ® ogie An ® eitung F ® ächen berechnung 6f3b4v x f(x) 2 4 6 – 10 –8 –6 –4 –2 5 10 – 15 – 10 –5 0 f N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv