Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

38 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 94. Vereinfache so weit wie mög ® ich und berechne ansch ® ießend. a) :  ‒1   3 (x 2 – 5 x + 2)dx +   :  3   ‒1   (x 2 – 5 x + 2)dx b) :  ‒2   4 (4 x – 2)dx +   :  4   ‒2   (4 x – 2)dx 95. Vereinfache so weit wie mög ® ich und berechne ansch ® ießend. a) :  1   5 (‒ 3 x + 4)dx + :  5   7 (‒ 3 x)dx + :  5   7 4dx b) :  ‒4   8 (‒ x 3 + 3x 2 – 1)dx + :  4   4 (‒ 3 x)dx +   :  8   ‒4    (‒ x 3 + 3x 2 – 1)dx c) :  2   4 (‒ 2 x)dx + :  4   6 (‒ 2 x)dx + :  2   6 (2 x)dx Annäherung mitte ® s bestimmter Integra ® e In 2.2 wurde bereits erarbeitet, dass das bestimmte Integra ® einer Funktion f in einem Interva ®® [a; b] a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden kann. Die gegebenen Funktionen waren meist auf ganz ℝ definiert. In den fo ® genden Beispie ® en werden Situationen aus dem A ®® tag durch Funktionen ange nähert. Dabei ist die Definitionsmenge meist eine Tei ® menge der natür ® ichen Zah ® en, der Graph der Funktion wird a ®® erdings auf ganz ℝ dargeste ®® t. Wie das fo ® gende Beispie ® zeigt, kann auch bei diesen „diskreten“ Fä ®® en (die Definitionsmenge ist eine Tei ® menge der natür ® ichen Zah ® en) die Integra ® rechnung nütz ® ich sein. 96. Eine Firma produziert Spie ® figuren einer Zeichentrickserie. Die Funktion A mit A(t) = ‒ t 2 + 60 t beschreibt die Anzah ® der Verkäufe A in der Woche t im Zeitraum [0; 8]. Berechne die Anzah ® der Verkäufe in den ersten acht Wochen exakt (nach der Funktion A) und näherungsweise mit der Integra ® rechnung und ste ®® e deine Berechnungen graphisch dar. „exakte“ Berechnung mitte ® s Summe näherungsweise Berechnung mitte ® s Integra ® t A(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 100 200 300 400 500 0 A t A(t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 100 200 300 400 500 0 A Um die exakte Anzah ® der verkauften Spie ® figuren zu erha ® ten, muss fo ® gende Summe berechnet werden: A(0) + A(1) + A(2) + A(3) + … + A(8) = = ;  t = 0   8 A(t)= 1 956 Bei diesem Beispie ® entspricht die Summe dem Wert der Obersumme von A in [0; 8] mit 8 Rechtecken. Näherungsweise kann diese Summe mitte ® s der Integra ® rechnung angenähert werden, da das bestimmte Integra ® a ® s Grenzwert der Obersummen interpretiert werden kann. Da die Funktion eigent ® ich nur für natür ® iche Zah ® en sinnvo ®® ist, ist dieser Wert nur eine Annäherung an die eigent ® iche Summe: :  0   8 A(t)dt = 1749,3 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv