Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

36 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 Im Fo ® genden wird die Summenrege ® bewiesen. Die Konstantenrege ® wurde schon in Kapite ® 1 gezeigt. Der Beweis der Rege ® vom konstanten Faktor findet sich in Aufgabe 82. Beweis der Summenrege ® Wie in Kapite ® 1 schon gezeigt, ist F + G eine Stammfunktion von f + g. Wendet man diese Tatsache an, erhä ® t man: :  a   b (f(x) + g(x))dx = (F(x) + G(x))  1 a   b = (F(b) + G(b)) – (F(a) + G(a)) = = (F(b) – F(a)) + (G(b) – G(a)) = :  a   b f(x) dx + :  a   b g(x)dx 82. Beweise die Rege ® vom konstanten Faktor für bestimmte Integra ® e. 83. Berechne das bestimmte Integra ® :  a   b f(x)dx und gib an, ob dieser Wert der F ® ächeninha ® t ist, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einsch ® ießt. a) :  ‒1   3 (2x 2 – 4 x + 5)dx c) :  ‒2   1 (x 3 – 2x 2 + 1)dx e) :  ‒1   1 (‒ x 4 + 2)dx b) :  1   3 (‒ x 2 + 4 x – 2)dx d) :  1   3 (‒ 2x 3 + 3 x – 4)dx f) :  0,5   2 (‒ 2x 4 + x)dx 84. Berechne das bestimmte Integra ® :  a   b f(x)dx und gib an, ob dieser Wert der F ® ächeninha ® t ist, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einsch ® ießt. a)   :  ‒4   ‒1    (‒ 3x 2 + x ‒1 )dx d) :  3   4 2  2x   1 _ 5 –   1 _  3 x 2   3 dx g)   :  0   2 π   3 · sin(0,5 x)dx j) :  1   2 (5 · e ‒2x )dx b) :  2   5 (‒ x   1 _ 2 + x ‒3 )dx e) :  ‒ π   π ‒ 2 · sin(x)dx h) :  0   π ‒ sin(2 x)dx k)   :  ‒2   ‒1     (12 · e 2x )dx c) :  3   6 2 2x   2 _ 3 –   4 _  3 x   3 dx f) :  1   3 3 · sin(4 x)dx i) :  ‒1   1 (‒ 3 · e x )dx ® ) :  0   1 (‒ 2 · 3 ‒5x )dx 85. Berechne das bestimmte Integra ® . a)   :  ‒4   ‒1     (cos (3 x))dx b) :  ‒ π   π ‒ 2 · sin(2 t)dt c) :  ‒1   1 (‒ 3 · e 2x )dx 86. Die Geschwindigkeit einer Läuferin v (in m/s) nach t Sekunden ® ässt sich in einem bestimmten Zeitraum ungefähr durch die Funktion v mit v(t) = ‒ 0,075t 2 + 1,4 t beschreiben. Berechne, wie vie ® e Meter die Läuferin im gegebenen Zeitinterva ®® zurück ® egt. a) [0; 4] b) [0; 6] c) [2; 5] d) [1; 3] e) [2; 6] 87. Ein Ba ®® wird ® otrecht nach oben geworfen. Seine Geschwindigkeit (in m/s) nach t Sekunden ist durch v ungefähr gegeben. 1) Bestimme, nach wie vie ® en Sekunden der Ba ®® den höchsten Punkt erreicht hat. 2) Berechne, wie vie ® e Meter der Ba ®® zurückge ® egt hat, bis er den höchsten Punkt erreicht hat. a) v(t) = 20 – 10 t b) v(t) = 40 – 10 t c) v(t) = 25 – 10 t d) v(t) = 30 – 10 t 88. Ein Hubschrauber steigt senkrecht vom Boden auf. Die Geschwindigkeit v des Hubschraubers (in m/s) zum Zeitpunkt t (in Sekunden s) ist durch v(t) = ‒   1 _  120 t 2 +   5 _  12 t gegeben. 1) Berechne jenen Zeitpunkt, zu dem der Hubschrauber am schne ®® sten steigt. 2) Berechne jenen Zeitpunkt, zu dem der Hubschrauber seinen höchsten Punkt erreicht hat. 3) Berechne, wie vie ® e Meter der Hubschrauber beim höchsten Punkt über dem Boden ist. AN 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv