Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie Merke 35 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 80. Berechne :  ‒4   3 (x 2 )dx. Gib an, ob dieser Wert der F ® ächeninha ® t ist, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. Um das Integra ® zu berechnen, wird zuerst eine Stammfunktion gesucht: :  ‒4   3 (x 2 )dx = 2    x 3 _  3 + c  3   1 ‒4   3 = = 2    3 3 _ 3  + c  3 – 2    (‒ 4) 3 _ 3  + c  3 = 30,33 Da im gesuchten Interva ®® kein Funktionswert negativ ist, entspricht der erha ® tene Wert dem F ® ächeninha ® t, den der Graph von f in diesem Interva ®® mit der x-Achse einsch ® ießt. Da beim bestimmten Integra ® eine be ® iebige Stammfunktion gewäh ® t werden kann, kann die additive Konstante wegge ® assen werden. Berechnen des bestimmten Integra ® s einer Funktion f in [a; b] Geogebra: Integra ® [Funktion, Startwert, Endwert] Beispie ® : Integra ® (x 2 , 0, 5) TI-Nspire: Menü 4 3   :  a   b   f(x) d x Beispie ® : :  0   5 x 2 dx 81. Berechne das bestimmte Integra ® und gib an, ob dieser Wert der F ® ächeninha ® t ist, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. a) :  ‒2   5 (x 3 )dx b) :  1   3 (x ‒3 )dx c) :  ‒5   5 (x 4 )dx d) :  1   3 (x ‒4 )dx e) :  1   3 2  x   1 _ 2   3 dx f)   :  ‒4   ‒3   dx Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e Da beim Berechnen von bestimmten Integra ® en auf Stammfunktionen zurückgegriffen wird, sind fo ® gende Rechenrege ® n aus Kapite ® 1 übertragbar: Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e Es sind f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen, F eine Stammfunktion von f und k eine ree ®® e Zah ® ( ≠ 0) gegeben. Es gi ® t: Summen- und Differenzenrege ® : :  a   b (f(x) ± g(x))dx = :  a   b f(x)dx ± :  a   b g(x)dx Rege ® vom konstanten Faktor: :  a   b k · f(x)dx = k · :  a   b f(x)dx Konstantenrege ® : :  a   b f(k · x)dx =   1 _ k · F(k · x)  1 a   b muster x f(x) 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 – 1 2 4 6 8 10 12 14 16 0 f TIPP Ó Techno ® ogie An ® eitung Berechnen des bestimmten Integra ® s g399m3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv