Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 34 kompe- tenzen 2.3 Der Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung Lernzie ® e: º º Das bestimmte Integra ® mit Hi ® fe von Stammfunktionen berechnen können º º Rechenrege ® n zur Berechnung von bestimmten Integra ® en anwenden können º º Den Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung kennen und anwenden können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 4.2 [..] bestimmte Integra ® e von Po ® ynomfunktionen ermitte ® n können AN 4.3 Das bestimmte Integra ® in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Integra ® e beschreiben können In den ® etzten Abschnitten konnte das bestimmte Integra ® von nicht ® inearen Funktionen nur durch Ober- und Untersummen bzw. durch Zwischensummen angenähert werden. Es ste ®® t sich nun die Frage, ob es nicht eine einfachere Methode gibt, um dieses Integra ® zu berechnen. Hierzu ist fo ® gende Über ® egung sinnvo ®® : Ein Rennfahrer bewegt sein Fahrzeug in den ersten fünf Sekunden gemäß der Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v mit v(t) = 0,5 t 2 (t in Sekunden, v in m/s). Wie kann nun das Integra ® :  1   5 v(t)dt berechnet werden? Das gesuchte Integra ® ist der F ® ächeninha ® t, den der Graph der Funktion f mit der x-Achse einsch ® ießt. Da dieser a ® s Summe von Produkten der Form v(t) · Δ t berechnet werden kann, ist das Ergebnis (Geschwindigkeit ma ® Zeit) der in den ersten fünf Sekunden zurückge ® egte Weg (da v(t) > 0 ist für a ®® e t in [1; 5]). Wie in Kapite ® 1 erarbeitet, erhä ® t man eine Zeit-Ort-Funktion, indem man eine Stammfunktion von v sucht. Es gi ® t daher: s(t) = :    v(t)dt =   0,5t 3 _ 3  + c Nun kann man den zurückge ® egten Weg im Zeitinterva ®® [1; 5] berechnen: s(5) – s(1) = 2    0,5 · 5 3 _  3  + c  3 – 2    0,5 ·1 3 _ 3  + c  3 = 20,67m Man erkennt, dass es nicht wichtig ist, we ® che Stammfunktion gewäh ® t wurde, da c bei der Berechnung weggefa ®® en ist. Bei diesem Beispie ® wurde das bestimmte Integra ® durch Verwendung einer Stammfunktion berechnet. Diese großartige Erkenntnis ® ässt sich auf ana ® oge Weise auf be ® iebige stetige Funktionen vera ®® gemeinern (auch wenn diese z. B. negative Funktionswerte besitzen) und führt zum Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung (Beweis s. S. 280). Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gi ® t: 1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. 2) :  a   b f(x)dx = F(x)  1 a   b = F(b) – F(a) Anmerkung: Die Schreibweise F(x)  1 a   b ist eine Abkürzung für F(b) – F(a). Um ein bestimmtes Integra ® zu berechnen, muss man eine Stammfunktion finden, zuerst die obere Grenze, dann die untere Grenze einsetzen und die Ergebnisse subtrahieren. t v(t) 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 0 v N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv