Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

31 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung |  Produktsummen und das bestimmte Integral 71. Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne den Wert ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx. a) 1) a = ‒ 3 b = 7 2) a = ‒1 b = 3 c) 1) a = 0 b = 8 2) a = 4 b = 7 b) 1) a = ‒ 2 b = 13 2) a = 2 b = 12 d) 1) a = ‒ 2 b = 9 2) a = 0 b = 9 72. Berechne den Wert ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx und ste ®® e diesen graphisch dar. Beurtei ® e, ob der erha ® tene Wert der F ® ächeninha ® t ist, den der Graph der Funktion f mit der x-Achse im gegebenen Interva ®® einsch ® ießt. a) f(x) = ‒ 3 x + 2 a = ‒ 4 b = 3 e) f(x) = ‒ x + 3 a = 0 b = 6 b) f(x) = ‒ 5 x + 5 a = ‒ 3 b = 1 f) f(x) = 2 x – 4 a = ‒1 b = 5 c) f(x) = 2 x – 4 a = 3 b = 7  g) f(x) = 3 x + 1 a = ‒ 5 b = ‒ 2 d) f(x) = 6 x – 3 a = ‒1 b = 2 h) f(x) = ‒ x – 1 a = 1 b = 5 73. In einen künst ® ichen Teich wird Wasser einge ® assen. Die Zuf ® ussgeschwindigkeit Z (in m 3 /min) in Abhängig- keit von der Zeit t (in Minuten min) ist in der Graphik abgebi ® det. Er ® äutere die Graphik so genau wie mög ® ich und interpretiere den Ausdruck ​  :  0 ​  14 ​    Z(t)​dt. Zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 14 wird kein Wasser zugeführt. Zu a ®® en anderen Zeitpunkten sehr woh ® . Die Zuf ® ussgeschwindigkeit nimmt ca. 8 Minuten ® ang zu, ansch ® ießend nimmt sie bis zum Zeitpunkt t = 14min ab. Aufgrund des Graphen kann keine Aussage über die Wassermenge im Teich getroffen werden (es ist nicht bekannt, ob der Teich zu Beginn ® eer ist). Um den Ausdruck ​  :  0 ​  14 ​    Z(t)​dt zu interpretieren, ist es hi ® freich das Integra ® a ® s Summe von Produkten der Form Z(t) · Δ t zu interpretieren. Mu ® tip ® iziert man die Zuf ® ussgeschwindigkeit in einem sehr k ® einen Interva ®® mit der Zeit, so erhä ® t man die Menge an Wasser, die in dieser Zeit dazugekommen ist (dies ist auch an der Einheit ersicht ® ich: ​  m 3 _  min ​·min = m 3 ). Das Integra ® steht a ® so für die Menge an Wasser, die in den 14 Minuten dazugekommen ist. x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 –4 –6 –2 0 f x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f muster t (in min) Z(t) (in m 3 /min) 2 4 6 8 10 12 14 2 4 6 8 0 Z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv