Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

30 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 68. Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne näherungsweise den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im Interva ®® [a; b] einsch ® ießt, mithi ® fe von Zwischensummen. Nimm bei jedem Tei ® interva ®® den Mitte ® punkt des Tei ® interva ®® s a ® s Zwischenste ®® e. 2) Berechne näherungsweise den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im Interva ®® [a; b] einsch ® ießt, mithi ® fe von Ober- und Untersummen. Untertei ® e das Interva ®® in n g ® eich große Tei ® interva ®® e. 3) Kontro ®® iere die Beziehung U n ª S n ª O n . a) f(x) =   x 2 _  2 +   x _ 2 [1; 9] n = 4; 8 c) f(x) = ‒   2 _  x – 2 [‒ 3; 1] n = 2; 4 b) f(x) = ‒   x 2 _ 10 + 30 [2; 8] n = 3; 6 d) f(x) =   2 x _  x – 1 [2; 10] n = 4; 8 69. Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Der Ausdruck :  a   b f(x)dx ist der Grenzwert (1) von (2) . (1) (2) einer Summe  Summen  eines Produkts  Produkten  eines Quotienten  Rechtecken  Interpretationen Auf den ® etzten Seiten wurden vorwiegend Funktionen verwendet, die im Interva ®® [a; b] keine negativen Funktionswerte annehmen. Wie kann man a ®® erdings den Wert :  a   b f(x)dx interpretieren, wenn die Funktion negative Funktionswerte annimmt? In nebenstehender Abbi ® dung sieht man den Graphen einer Funktion, die auch negative Werte annimmt. Weiters sind drei F ® ächeninha ® te A 1 , A 2 und A 3 eingezeichnet. Da das bestimmte Integra ® der Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x) · Δ x ist, ist diese Summe in [c; d] negativ. Aus diesem Grund ist der Wert :  a   b f(x)dx in diesem Fa ®® nicht der F ® ächeninha ® t, den der Graph von f in [a; b] mit der x-Achse einsch ® ießt, sondern: :  a   b f(x)dx = A 1 – A 2 + A 3 70. Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne den Wert :  ‒2   6 f(x)dx. Für die Berechnung des Integra ® s ist eine Untertei ® ung in drei Tei ® f ® ächen notwendig (zwei Dreiecke und ein Vierte ® kreis): A 1 =   3,5 ·7 _ 2  = 12,25 A 2 =   1,5 · 3 _ 2  = 2,25 A 3 =   3 2 π _ 4  = 2,25 π Da sich A 1 im negativen Bereich und A 2 und A 3 im positiven Bereich befinden gi ® t: :  ‒2   6 f(x)dx = ‒12,25 + 2,25 + 2,25 π ≈ ‒ 2,93 Ó Techno ® ogie An ® eitung Rechtecksummen gp6de9 Ó Arbeitsb ® att Das bestimmte Integra ® – Maturaformate 2 np3vu4 AN 4.1 Ó Arbeitsb ® att Das bestimmte Integra ® – Interpretationen z4329i x f(x) b d a c 0 f A 1 A 2 A 3 muster x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 – 7 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv