Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 29 kompe- tenzen 2.2 Produktsummen und das bestimmte Integra ® Lernzie ® e: º º Das bestimmte Integra ® a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten deuten können º º Die Schreibweise des bestimmten Integra ® s verstehen können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 4.1 Den Begriff des bestimmten Integra ® s a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können AN 4.3 Das bestimmte Integra ® in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Integra ® e beschreiben können Das bestimmte Integra ® – Deutung a ® s eine Summe von Produkten Da das Berechnen von Ober- und Untersummen bzw. das Finden des k ® einsten bzw. größten Funktionswerts in einem Interva ®® bei nicht monotonen Funktionen recht aufwendig ist, werden oft so genannte Zwischensummen verwendet: Dabei wird das Interva ®® [a; b] wieder in n g ® eich große Tei ® interva ®® e untertei ® t. In jedem der Interva ®® e wird eine be ® iebige Ste ®® e x i ausgewäh ® t und ein Rechteck mit der Breite Δ x =   b – a _  n  und der Länge f(x i ) gebi ® det. Ansch ® ießend wird fo ® gende Summe gebi ® det: S n = f(x 1 ) · Δ x + f(x 2 ) · Δ x + f(x 3 ) · Δ x + … + f(x n ) · Δ x = ;  i = 1   n f(x i )· Δ x Diese Summe wird Zwischensumme genannt. In nebenstehender Abbi ® dung sieht man für eine Funktion f in [1; 6] eine Ober-, eine Unter- und eine Zwischensumme eingezeichnet. In jedem Tei ® interva ®® wurde der Mitte ® punkt a ® s Zwischenste ®® e genommen. Wird bei einer stetigen Funktion ein Interva ®® [a; b] in n g ® eich große Tei ® e untertei ® t, dann kann man zeigen, dass fo ® gender Zusammenhang gi ® t: U n ª S n ª O n Da das bestimmte Integra ® bis jetzt a ® s Wert zwischen a ®® en Ober- und Untersummen definiert wurde, ist auch eine Definition über Zwischensummen mög ® ich. Hier ist auch der Zusammenhang zur Schreibweise ersicht ® ich: Untertei ® t man das Interva ®® [a; b] in immer mehr Tei ® e, so wird Δ x immer k ® einer und S n nähert sich dem Wert :  a   b f(x)dx an. Dieser Wert ist der Grenzwert der Zwischensummen S n für n ¥ • . Um daran zu erinnern, dass das bestimmte Integra ® der Grenzwert einer Summe von Produkten der Form f(x i ) · Δ x ist (eine Produktsumme), wurde Δ x durch dx und das Summenzeichen durch das Integra ® zeichen :    ersetzt: ;  i   f(x i )· Δ x ≈ :  a   b f(x)dx Das bestimmte Integra ® Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das bestimmte Integra ® a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gi ® t: ;  i   f(x i )· Δ x ≈ :  a   b f(x)dx Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Zwischensummen ty6rv5 x f(x) f 2 4 6 –2 2 4 6 0 Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv