Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

281 Beweise | Anhang Dynamische Systeme Exp ® izite Darste ®® ung einer ® inearen Differenzeng ® eichung Die exp ® izite Form einer ® inearen Differenzeng ® eichung y n + 1 = a · y n + b mit dem Anfangs- wert y 0 ist gegeben durch: y n = a n · y 0 + b ·  1 – a n _ 1 – a  Zuerst werden die ersten G ® ieder betrachtet: y 1 = a · y 0 + b y 2 = a · y 1 + b = a · (a · y 0 + b) + b = a 2 · y 0 + a · b + b y 3 = a · y 2 + b = a · (a 2 · y 0 + a · b + b) + b = a 3 · y 0 + a 2 · b + a · b + b … y n = a n · y 0 + a n – 1 · b + a n – 2 · b + … + a · b + b = a n · y 0 + b · (a n – 1 + a n – 2 + … + a + 1) Durch Verwendung der Summenforme ® für geometrische Reihen (vg ® . Lösungswege 6, Seite 142) erhä ® t man die Behauptung: a n – 1 + a n – 2 + … + a + 1 =   1 – a n _  1 – a  w y n = a n · y 0 + b ·   1 – a n _  1 – a  Sch ® ießende und beurtei ® ende Statistik Forme ® zur Berechnung des (approximierten) γ -Konfidenzinterva ®® s γ -Konfidenzinterva ®® für p = 4 h – z · 9 ____   h · (1 – h) __ n   ; h + z · 9 ____   h · (1 – h) __ n    5 ε = z · 9 ____   h · (1 – h) __ n   … Abweichung von h; die ha ® be Interva ®® breite p … die unbekannte (abzuschätzende) Wahrschein ® ichkeit für das Auftreten eines Merkma ® s in der Grundgesamtheit h … re ® ative Häufigkeit des Merkma ® s in der Stichprobe n … Umfang der Stichprobe Φ (z) =   γ + 1 _ 2  z ≈ 1,96 für γ = 0,95 z ≈ 2,575 für γ = 0,99 γ … Sicherheit oder Vertrauensniveau α = 1 – γ … Irrtumswahrschein ® ichkeit H ist die abso ® ute Häufigkeit einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X in einer Stichprobe, n ist der Umfang der Stichprobe, h =   H _ n ist die re ® ative Häufigkeit dieses Merkma ® s. [h – ε ; h + ε ] ist das gesuchte Konfidenzinterva ®® mit der Sicherheit γ . Die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung von X kann durch eine Norma ® vertei ® ung approximiert werden. X ist annähernd norma ® vertei ® t mit dem Erwartungswert E = n · h und der Standard- abweichung S = 9 _______ n · h · (1 – h) . Die re ® ative Häufigkeit h =   X _ n ist norma ® vertei ® t mit den Parametern μ =   n · h _ n  = h und σ =   9 _______ n · h · (1 – h) __ n  = 9 ____   h · (1 – h) __  n  (ohne Beweis). F ist die Vertei ® ungsfunktion der re ® ativen Häufigkeit h mit N 2 h; 9 ____   h · (1 – h) __ n    3 . Φ ist die Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung N(0; 1). P(h – ε ª p ª h + ε ) = γ w F(h + ε ) – F(h – ε ) = γ w Φ 2    (h + ε) – h __  9 __ _   h·(1 – h) __ n    3 – Φ 2    (h – ε) – h __  9 __ _   h·(1 – h) __  n      3 = γ w Φ 2    ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3 – Φ 2  ‒   ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3 = γ w Φ 2    ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3 – 2  1 – Φ 2    ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3   3 = γ w 2 · Φ 2    ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3 – 1 = γ w Φ 2    ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n      3 =   γ + 1 _ 2  Nun bestimmt man z so dass gi ® t: Φ( z) =   γ + 1 _ 2  w   ε __  9 __ _   h·(1 – h) __ n    = z w ε = z · 9 ____   h · (1 – h) __ n    Somit ® autet das γ -Konfidenzinterva ®® für die Wahrschein ® ichkeit p in der Grundgesamtheit: 4 h – z · 9 ____   h · (1 – h) __  n  ; h + z · 9 ____   h · (1 – h) __ n    5 q. e. d. 4 S.89 Satz BEWEIS 7 S.157 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv