Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

280 Beweise Anhang Beweise Stammfunktionen Substitutionsmethode Ist f stetig und g differenzierbar, dann ist fo ® gende Substitution mög ® ich: x = g(u) bzw. dx = g’(u) · du  w  ​ :  ​  ​ f(x)​· dx = ​ :  ​  ​ f​(g(u)) · g’(u) du Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann ist wegen der Kettenrege ® F(g(u)) eine Stamm- funktion von f(g(u)) · g’(u). Der Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung Hauptsatz der Differentia ® und Integra ® rechnung Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Dann gi ® t: 1) Es existiert eine Stammfunktion F von f. 2) Es gi ® t ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx = ​ ​ F(x)  1 ​ a ​  b ​= F(b) – F(a) Der Einfachheit ha ® ber wird eine auf [a; b] monoton steigende Funktion mit nur positiven Funktionswerten betrachtet. Die Funktion A(x) bezeichnet den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f im Interva ®® [a; x] mit der x-Achse einsch ® ießt. Geht man auf der x-Achse um ein k ® eines Stück ( Δ x) weiter, so kann man den neuen roten F ® ächeninha ® t mitte ® s A(x + Δ x) – A(x) berechnen. Man könnte diesen F ® ächeninha ® t auch mitte ® s Ober- und Untersummen von f in [x; x + Δ x] berechnen. Eine weitere Mög ® ichkeit ist die Berechnung mitte ® s Zwischensummen: Wie im Kapite ® 2 besprochen, gibt es, da f eine stetige Funktion ist, eine Zwischenste ®® e ​x​ i ​im Interva ®® [x; x + Δ x] mit der Eigenschaft, dass der F ® ächeninha ® t des Rechtecks mit der Breite Δ x und der Höhe f(​x​ i ​) mit dem roten F ® ächeninha ® t übereinstimmt. Es gi ® t daher: A(x + Δ x) – A(x) = Δ x · f(​x​ i ​). Durch Umformung erhä ® t man einen Differenzenquotienten: ​  A(x + Δ x) – A(x) __ Δ x  ​= f(​x​ i ​). Lässt man nun Δ x immer k ® einer werden, so wird die rote F ® äche immer k ® einer und ​x​ i ​nähert sich x an. Man erhä ® t daher den Differentia ® quotienten: ​A’​(x) = ​ ® im  Δ x ¥ 0 ​  A(x + Δ x) – A(x) __ Δ x  ​= ​ ® im  Δ x ¥ 0 ​f(​x​ i ​) = f(x). Da f die Ab ® eitungsfunktion der Funktion A ist, hat man eine Stammfunktion F von f gefunden. Nun ist noch zu zeigen, dass für jede be ® iebige Stammfunktion von f gi ® t: ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx = ​ ​ F(x)  1 ​ a ​  b ​= F(b) – F(a) Setzt man nun F(x) = A(x) + d bzw. A(x) = F(x) + c, so kann man den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse in [a; b] einsch ® ießt, auf fo ® gende Art berechnen: ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx = A(b) – A(a) = F(b) + c – F(a) – c = F(b) – F(a) Man kann a ® so zur Berechnung des bestimmten Integra ® s jede be ® iebige Stammfunktion F von f nehmen. 1 S.17 Satz BEWEIS 2 S.34 Satz BEWEIS x f(x) f a x A(x) A(x + Δ x) – A(x) x + Δ x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv