Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

272 Maturavorbereitung: Vernetzungsaufgaben – Typ 2 12 Vernetzung 790. Handycovers Ein Herste ®® er von Handycovers kann pro Tag maxima ® 120 Stück produzieren. Die Kosten, die für die Produktion von x Stück entstehen, können durch die Kostenfunktion K mit der Funktionsg ® eichung K(x) = 0,04· x 2 + 0,4· x + 52 näherungs­ weise berechnet werden. Die Stückkostenfunktion ​ _ K​gibt die durchschnitt ® ichen Kosten pro Stück an. Der Er ® ös E(x) bezeichnet die Einnahmen, die durch den Verkauf von x Stück erzie ® t werden. Der Gewinn G ist jene Ge ® dmenge, die dem Herste ®® er durch den Er ® ös nach Abzug der Kosten b ® eibt. Die Graphen der beiden Funktionen K und E sind in der fo ® genden Abbi ® dung dargeste ®® t. a) Bestimme eine Funktionsg ® eichung der ® inearen Funktion E und interpretiere die darin entha ® tenen Parameter. Ermitt ® e eine Funktionsg ® eichung der Stückkostenfunktion ​ _ K​und berechne die Stück- kosten für eine Produktionsmenge von 50 Stück. b) Die Gewinnfunktion G, die jeder Produktionsmenge x den zu erzie ® enden Gewinn zuordnet, hat die Funktionsg ® eichung G(x) = ‒ 0,04 · x 2 + 4,52 · x – 52. Berechne die Nu ®® ste ®® en der Gewinnfunktion, markiere die Lösungen in der obigen Abbi ® dung an der Kosten- und Er ® ösfunktion und erk ® äre, was die Nu ®® ste ®® en im gegebenen Zusammenhang bedeuten. Berechne mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung jene Produktionsmenge, die den meisten Gewinn für den Herste ®® er abwirft. c) Ermitt ® e den Preis, zu dem der Herste ®® er ein Handycover verkaufen müsste, damit er bei g ® eicher Kostenfunktion die obere Gewinnschranke auf eine Produktionsmenge von 120 Stück pro Tag erhöhen könnte. Bei g ® eichb ® eibender Er ® ösfunktion ® ässt sich auch durch Änderung der Kostenfunktion der Gewinn vergrößern. Die gegebene Kostenfunktion ist von der Form K(x) = a · x 2 + b · x + c mit a = 0,04, b = 0,4 und c = 52. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Vergrößert man a, so vergrößert sich der Gewinn für a ®® e x * [40; 60].  B Vergrößert man b, so wird das Gewinninterva ®® k ® einer.  C Verk ® einert man a, so vergrößert sich für a ®® e x * [20; 120] der Gewinn.  D Vergrößert man c, so wird das Gewinninterva ®® größer.  E Verk ® einert man c, so gibt es ein x * [30; 120], für das der Gewinn k ® einer wird.  P = (100 1 492) K E x K(x), E(x) 20 40 60 80 100 100 200 300 400 500 600 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv