Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral 61. Gegeben ist eine in [a; b] streng monotone Funktion f. Berechne, in wie vie ® e g ® eich breite Tei ® interva ®® e das Interva ®® [a; b] getei ® t werden muss, damit die Differenz der Ober- und Untersumme k ® einer a ® s 0,3 wird. a) f(x) = x 2 + 5 [a; b] = [3; 12] d) f(x) =   10 _ x  [a; b] = [2; 10] b) f(x) = ‒ 2x 2 + 50 [a; b] = [1; 5] e) f(x) =   x _  x – 2 [a; b] = [3; 8] c) f(x) =   x 3 _  5 + 1 [a; b] = [1; 20] f) f(x) = cos(0,2 x) [a; b] = [33; 39] Das bestimmte Integra ® Betrachtet man eine auf [a; b] stetige Funktion mit nur nicht-negativen Funktionswerten, dann sind fo ® gende beiden Punkte erkennbar: –– A ®® e Untersummen sind k ® einer a ® s a ®® e Obersummen. –– Die Differenz der Ober- und Untersummen kann be ® iebig k ® ein gemacht werden. Dazu muss nur die Interva ®® breite der Tei ® interva ®® e genügend k ® ein gewäh ® t werden. Es kann gezeigt werden, dass die obigen Punkte auch für stetige Funktionen mit negativen Funktionswerten ge ® ten. Außerdem kann man vermuten, dass es eine Zah ® gibt, die zwischen a ®® en Ober- und Unter- summen ® iegt. Diese Zah ® wird bestimmtes Integra ® von f in [a; b] genannt: Das bestimmte Integra ® Ist f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann nennt man jene Zah ® , die zwischen a ®® en Untersummen U und Obersummen O von f in [a; b] ® iegt, bestimmtes Integra ® von f in [a; b] und schreibt: :  a   b f(x)dx oder kurz: :  a   b f Anmerkungen : –– Der Zusammenhang zum unbestimmten Integra ® wird in 2.4 gezeigt. –– Man sagt auch „Integra ® von f zwischen den Grenzen a und b“. –– a wird a ® s untere Grenze, b a ® s obere Grenze bezeichnet. –– f(x) wird a ® s Integrand bezeichnet, x a ® s Integrationsvariab ® e (vg ® . 1.1). Besitzt eine in [a; b] stetige Funktion nur nicht-negative Funktionswerte, dann ist :  a   b f(x)dx der F ® ächeninha ® t, den der Graph von f im gegebenen Interva ®® mit der x-Achse einsch ® ießt. 62. Gegeben ist ein Integra ® . 1) Gib die obere und untere Grenze des Integra ® s an. 2) Gib den Integranden an. 3) Gib die Integrationsvariab ® e an. a)   :  ‒22   ‒17   (4 x – 7)dx b)   :  12   35    (3 x – 5) 2 dx c) :  2   4 sin(4 t)dt d) :  0   6 (‒ 2 a x b + t)dt 63. Gegeben ist eine Funktion f. Grenze den Wert :  a   b f(x)dx mithi ® fe von Ober- und Untersummen ein. Untertei ® e das Interva ®® in n g ® eich große Tei ® interva ®® e. a) f(x) =   x 2 _  8 + 1 a = 2; b = 5; n = 6 c) f(x) =   12 _ x  a = 1; b = 9; n = 8 b) f(x) = ‒   x 2 _  4 + 20 a = 1; b = 8; n = 7 d) f(x) = e 0,5x a = 0; b = 3; n = 6 Ó On ® ine Darste ®® ung Das bestimmte Integra ® bu4j96 TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv