Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

266 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik 11 Vernetzung Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 785. Würfe ® aus dem A ® tertum a) Die ä ® testen Gegenstände, die für G ® ücksspie ® e verwendet wurden, sind die so genannten Astra ® agi. Ein Astra ® agus ist ein Knochen aus dem Sprungge ® enk eines Schafes oder einer Ziege, der geworfen wurde. Dabei konnten vier Seiten nach oben zum Liegen kommen, die mit den Zah ® en 1, 3, 4 und 6 beschriftet waren. Aufgrund der unsymmetrischen Eigenschaften der Knochen, muss man die Wahrschein ® ichkeiten P für das Erscheinen der einze ® nen Zah ® en aus Wurfserien schätzen. Dabei ergibt sich P(1) ≈ 8,7%, P(3) ≈ 43,0%, P(4) ≈ 39,1% und P(6) ≈ 9,2%. Gib an, we ® che Wahrschein ® ichkeit durch den Ausdruck 0,087· 0,57· 0,391 in diesem Zusammenhang berechnet wird. Wurden mehrere Astra ® agi hintereinander geworfen, führten die entstandenen Kombinati- onen oft zu Orake ® sprüchen, die in einem spezie ®® en Buch gesamme ® t waren. Die Kombina- tion aus drei Vierern und zwei Sechsern brachte beispie ® sweise den Rat, man so ®® e zu Hause b ® eiben, da das künftige Vorhaben sehr gefähr ® ich wäre. Berechne die Wahrschein ® ichkeit, dass bei fünf Würfen mit einem Astra ® agus drei Vierer und zwei Sechser erscheinen. b) Wurden die Astra ® agi abgesch ® iffen, konnten Würfe ® mit sechs Seiten produziert werden, deren Wahrschein ® ichkeiten aber weiterhin nicht für a ®® e Seiten g ® eich groß waren. Durch Werfen eines so ® chen Würfe ® s und Aufzeichnen der re ® ativen Häufigkeiten für die Augenzah ® en können auch hier Wahrschein ® ichkeiten für die Augenzah ® en angegeben werden. Die Vertei ® ungsfunktion P(X < a) einer Zufa ®® svariab ® en, die die (ree ®® e) Augenzah ® a eines derartigen Würfe ® s beschreibt, ist in der nebenste- henden Abbi ® dung dargeste ®® t. Gib die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung in der unten­ stehenden Tabe ®® e an. Berechne den Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® en. a 1 2 3 4 5 6 P(X = a) c) Etwas bessere Ergebnisse, was die Chanceng ® eichheit der Augenzah ® en betrifft, erzie ® te man im a ® ten Ägypten mit g ® äsernen Würfe ® n. In einer Wurfserie mit 232 Würfen ergaben sich für die Augenzah ® en 1, 2, 3, 4, 5 und 6 die fo ® genden Häufigkeiten: 49, 38, 38, 29, 30, 48. Um einen derartigen Würfe ® mit einem idea ® en Würfe ® zu verg ® eichen, werden die re ® ativen Häufigkeiten a ® s Wahrschein ® ichkeiten interpretiert und der Erwartungswert der entstehenden Vertei ® ung wird berechnet. Dabei ergibt sich für einen idea ® en Würfe ® der Erwartungswert 3,5. Ermitt ® e unter der Bedingung, dass die Anzah ® der Würfe für die Augenzah ® 1 bis 4 unverändert b ® eibt, wie oft die Augenzah ® en 5 und 6 bei der obigen Wurfserie mit 232 Würfen erscheinen hätten müssen, damit der Erwartungswert für die Augenzah ® en mit jenem eines idea ® en Würfe ® s übereinstimmt. Berücksichtige dazu, dass die Summe der re ® ativen Häufigkeiten 1 ergeben muss, ste ®® e ein ® ineares G ® eichungssystem in zwei Variab ® en auf und ® öse es. Augenzahl a P(X < a) 0,23 0,16 0,44 0,69 0,81 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv