Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

26 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 57. Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne näherungsweise den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im Interva ®® [a; b] einsch ® ießt mithi ® fe von Ober- und Untersummen. Untertei ® e das Interva ®® in n g ® eich große Tei ® interva ®® e. 2) Kontro ®® iere, dass die Untersummen k ® einer a ® s die Obersummen sind. 3) Berechne für jedes n die Differenz der Ober- und Untersummen und verg ® eiche die Ergebnisse. a) f(x) =   x 2 _  4 +   3 x _ 5  [1; 5] n = 2; 4; 8 c) f(x) =   5 _ x [1; 7] n = 2; 3; 6 b) f(x) = ‒   x 2 _  4 + 10 [0; 6] n = 2; 3; 6 d) f(x) =   x _  x + 1 [‒ 5; ‒ 2] n = 2; 3; 6 58. Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Berechne näherungsweise den F ® ächeninha ® t, den der Graph von f mit der x-Achse im Interva ®® [a; b] einsch ® ießt mithi ® fe von Ober- und Untersummen. Untertei ® e das Interva ®® in n g ® eich große Tei ® interva ®® e. a) [a; b] = [1; 7] n = 2; 3; 6 b) [a; b] = [‒12; ‒ 6] n = 2; 3; 6 59. Gegeben ist eine Funktion f. 1) Berechne die Ober- und Untersummen von f in [a; b]. Untertei ® e das Interva ®® in n g ® eich große Tei ® interva ®® e. 2) Erk ® äre, wieso die in (1) erha ® tenen Werte keine Annäherung für den F ® ächeninha ® t sind, den der Graph von f mit der x-Achse einsch ® ießt. a) f(x) = ‒ 3 x + 6 [a; b] = [1; 5] n = 2; 4 b) f(x) = ‒   x 2 _  5 + 3 [a; b] = [2; 6] n = 3; 6 60. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =   x 2 _  5 . Berechne, in wie vie ® e g ® eich breite Tei ® interva ®® e das Interva ®® [1; 6] getei ® t werden muss, damit die Differenz der Ober- und Untersumme k ® einer a ® s 0,5 wird. Das Interva ®® [1; 6] wird in n g ® eich große Tei ® interva ®® e zer ® egt. Die einze ® nen Tei ® ungsste ®® en werden mit x 0 , x 1 , …, x n bezeichnet. Da die Funktion in [1; 6] streng monoton steigend ist, befinden sich die Maximumste ®® en an den rechten Rändern der Tei ® interva ®® e [x 0 ; x 1 ]; [x 1 , x 2 ]; … und die Minimumste ®® en an den ® inken Rändern. Es gi ® t daher: O n = Δ x · f(x 1 ) + Δ x · f(x 2 ) + … + Δ x · f(x n – 1 ) + Δ x · f(x n ) U n = Δ x · f(x 0 ) + Δ x · f(x 1 ) + Δ x · f(x 2 ) + … + Δ x · f(x n – 1 ) w O n – U n = Δ x · f(x n ) – Δ x · f(x 0 ) = Δ x · (f(x n ) – f(x 0 )) Durch Einsetzen von x 0 = 1, x n = 6, f(x 0 ) = 0,2, f(x n ) = 7,2 und Δ x =   6 – 1 _ n  =   5 _ n erhä ® t man: O n – U n =   5 _ n · (7,2 – 0,2) =   35 _ n  Da die Differenz k ® einer a ® s 0,5 sein so ®® , erhä ® t man:   35 _ n  < 0,5 w n > 70 Ab einer Untertei ® ung in 71 Interva ®® e ist die Differenz zwischen Ober- und Untersumme k ® einer a ® s 0,5. Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Ober- und Untersumme berechnen 6z77xf Ó Arbeitsb ® att Aufgaben zu Ober- und Untersummen 92be5s x f 2 4 6 8 10 12 2 4 6 f(x) 0 x f(x) f – 12 – 10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 0 Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Ober- und Untersumme darste ®® en 67ab3f muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv