Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Wissen komapkt 254 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik 11 Binomia ® vertei ® ung Die diskrete Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung P(X = k) = ​ 2  ​ n  k ​  3 ​· p k  · (1 – p) n – k heißt Binomia ® vertei ® ung mit den Parametern n (Anzah ® der Versuche) und p (Erfo ® gs wahr­ schein ® ichkeit) mit 0 ª k ª n, 0 ª p ª 1 und k = 0, 1, 2, 3, …, n. Erwartungswert μ und Varianz V einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X μ = E(X) = n · p σ 2 = V(X) = n · p · (1 – p) Bedingungen für die Binomia ® vertei ® ung: –– Jeder Versuch hat nur zwei mög ® iche unabhängige Versuchsausgänge (Erfo ® g und Misserfo ® g). –– Die Erfo ® gswahrschein ® ichkeiten für Erfo ® g und Misserfo ® g sind konstant. Die Dichtefunktion einer norma ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X f(x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ · σ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ 2 ​ ​ μ … Erwartungswert σ … Standardabweichung Die Standard-Norma ® vertei ® ung φ( x) = ​  1 _  ​ 9 __ 2 π​ ​ · ​e​ ‒ ​  1 _ 2 ​x​ 2 ​ ​… Dichtefunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung N(0;1) Φ (x) … Vertei ® ungsfunktion der Standard-Norma ® vertei ® ung Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung Eine Binomia ® vertei ® ung B(n; p) mit den Parametern n und p nähert sich mit steigendem n der Norma ® vertei ® ung N( μ ; σ ) mit μ = n·p und σ = ​ 9 _______ n·p· (1 – p)​an. ( Satz von Moivre-Lap ® ace ) In der Praxis gi ® t die Approximation a ® s ausreichend gut, wenn fo ® gende Bedingung erfü ®® t ist: n · p · (1 – p) º 9 Sch ® ießende / Beurtei ® ende Statistik Definition des γ -Konfidenzinterva ®® s Um die unbekannte Wahrschein ® ichkeit p eines Merkma ® s in einer Grundgesamtheit abzu- schätzen, ermitte ® t man die re ® ative Häufigkeit h dieses Merkma ® s in einer Stichprobe. Das γ -Konfidenzinterva ®® von p umfasst a ®® e Werte von p, deren γ -Schätzbereiche h entha ® ten. Forme ® zur Berechnung des (approximierten) γ -Konfidenzinterva ®® s γ -Konfidenzinterva ®® für p = [h – ε ; h + ε ] mit ε = z · ​ 9 ____ ​  h · (1 – h) __ n  ​ ​ p … unbekannte (abzuschätzende) Wahrschein ® ichkeit für das Auftreten eines Merkma ® s in der Grundgesamtheit h … re ® ative Häufigkeit des Merkma ® s in der Stichprobe n … Umfang der Stichprobe Φ (z) = ​  γ + 1 _ 2  ​ z ≈ 1,96 für γ = 0,95 z ≈ 2,575 für γ = 0,99 γ … Sicherheit oder Vertrauensniveau des Konfidenzinterva ®® s WS 3.2 WS 3.2 WS 3.3 x f(x) P(X ª a) f μ a WS 3.4 x φ (x) φ a 0 P(X ª a) = Φ (a) WS 3.4 WS 3.4 WS 4.1 WS 4.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv