Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

253 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik |  Wissen kompakt Das empirische Gesetz der großen Zah ® en Bei einer hinreichend großen Anzah ® von Wiederho ® ungen (n ¥ • ) eines Zufa ®® sversuches stabi ® isiert sich die re ® ative Häufigkeit h n (E) für das Eintreten des Ereignisses E bei einem Wert, der a ® s Wahrschein ® ichkeit P(E) interpretiert werden kann. Die re ® ative Häufigkeit ist daher eine gute Näherung für den Wert der Wahrschein ® ichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses E: P(E) ≈ ​ ® im  n ¥ • ​ h n (E) Lap ® ace-Wahrschein ® ichkeit Sind a ®® e E ® ementarereignisse eines end ® ichen Grundraums Ω g ® eichwahrschein ® ich, gi ® t für die Wahrschein ® ichkeit des Eintretens eines Ereignisses E: P(E) = ​  Anzah ® der für E günstigen Fä ®® e _____   Anzah ®  a ®® er mög ® ichen Fä ®® e  ​ Mu ® tip ® ikationsrege ® (rot) Um die Wahrschein ® ichkeit des Ereignisses „A und B“ zu bestimmen, werden im Wahrschein ® ichkeitsbaum die Wahrschein ® ichkeiten ent ® ang des Weges zum Ereignis „A und B“ mu ® tip ® iziert. P(A und B) = P(A ? B) = P(A) · P(B 1 A) Additionsrege ® (grün) Entsprechen einem Versuchsergebnis mehrere Wege im Baumdiagramm, so werden die Wahrschein ® ichkeiten ent ® ang der Wege addiert. P((A’und B)  oder  (A’ und B’)) = P(A’ ? B) + P(A’ ? B’) = P(A’) · P(B 1 A’) + P(A’) · P(B’ 1 A’) Binomia ® koeffizient ​ 2  ​ n  k ​ 3 ​= ​  n! __  (n – k)! · k! ​ Der Binomia ® koeffizient gibt an, auf wie vie ® e Arten man k g ® eiche E ® emente auf n P ® ätze vertei ® en oder k E ® emente aus n E ® ementen auswäh ® en kann (ohne Beachtung der Reihenfo ® ge). Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung(en) Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung und Vertei ® ungsfunktion Die Funktion, die jedem Wert x einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X die Wahrschein ® ichkeit P(X = x) zuordnet, heißt Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung. Die Funktion, die jedem Wert x einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X die Wahrschein ® ichkeit P(X ª x) zuordnet, heißt Vertei ® ungsfunktion. Erwartungswert E einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X E(X) = μ = x 1  · P(X = x 1  ) + x 2  · P(X = x 2  ) + x 3  · P(X = x 3  ) + … + x n  · P(X = x n  ) Varianz V und Standardabweichung σ einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X V(X) = σ 2 = (x 1 – μ ) 2 · P(X = x 1  ) + (x 2 – μ ) 2  · P(X = x 2  ) + (x 3 – μ ) 2  · P(X = x 3  ) + …   + (x n – μ ) 2  · P(X = x n  ) WS 2.2 WS 2.3 P(A) P(A ? B) P(A ? B’) P(A’ ? B) P(A’ ? B’) P(B ‡ A) B B B’ B’ P(B’ ‡ A) P(B ‡ A’) P(B’ ‡ A’) P(A’) A A’ WS 2.3 WS 2.3 WS 2.4 WS 3.1 WS 3.1 WS 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv