Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie Merke 25 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung | Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral Da der gesuchte F ® ächeninha ® t zwischen U 30 und O 30 ® iegen muss, gi ® t: U 30 ª A(1; 6) ª O 30 w 13,75 ª A(1; 6) ª 14,92 Je größer die Anzah ® der Tei ® interva ®® e ist, desto besser wird die Annäherung für den tatsäch ® ichen F ® ächeninha ® t. Diese Über ® egungen können nun vera ®® gemeinert werden: Ober- und Untersummen Gegeben ist eine auf [a; b] stetige Funktion f. Zer ® egt man das Interva ®® [a; b] in n g ® eich große Tei ® interva ®® e der Breite Δ x =   b – a _ n  , und bezeichnet mit m 1 , m 2 , …, m n die Minimum ste ®® en und mit M 1 , M 2 , …, M n die Maximumste ®® en von f in den einze ® nen Interva ®® en, dann nennt man –– U n = Δ x · f(m 1 ) + Δ x · f(m 2 ) + … + Δ x · f(m n ) = ;  i = 1   n Δ x· f(m i ) Untersumme von f in [a; b]. –– O n = Δ x · f(M 1 ) + Δ x · f(M 2 ) + … + Δ x · f(M n ) = ;  i = 1   n Δ x· f(M i ) Obersumme von f in [a; b]. Anmerkungen –– Anschau ® ich sieht man, dass jede Untersumme k ® einer a ® s jede Obersumme ist. Es gi ® t daher: U 1 ª U 2 ª U 3 ª U 4 ª … ª A ª … ª O 4 ª O 3 ª O 2 ª O 1 –– Bei streng monoton steigenden Funktionen befinden sich die Minimumwerte am ® inken Rand jedes Tei ® interva ®® s und die Maximumwerte am rechten Rand jedes Tei ® interva ®® s. –– Das Finden von Minimum- und Maximumste ®® en bei nicht monotonen Funktionen ist nicht einfach. Hier wird in 2.2 noch eine weitere Mög ® ichkeit gezeigt. –– Beachte, dass diese Definition auch für Funktionen mit negativen Funktionswerten gi ® t. Dann sind jedoch Ober- und Untersummen keine Annäherung mehr für den gesuchten F ® ächeninha ® t (vg ® . Aufgabe 59), wei ® ein Produkt Δ x · f(x i ) negativ sein kann. –– Das Zeichen ;  i = 1   n Δ x· f(m i ) wird ge ® esen a ® s „Summe von i g ® eich 1 bis n von Δ x · f(m i )“ und ist eine Abkürzung für die Schreibweise Δ x · f(m 1 ) + Δ x · f(m 2 ) + … + Δ x · f(m n ). Berechnen von Ober- und Untersummen einer Funktion f auf [a; b] Geogebra: Obersumme[Funktion, Startwert, Endwert, Anzah ® der Rechtecke] Untersumme[Funktion, Startwert, Endwert, Anzah ® der Rechtecke] 56. Gegeben ist eine ® ineare Funktion f. 1) Berechne die Ober- und Untersumme O n und U n von f in [1; 7] durch Untertei ® ung in n = 2, n = 3 und n = 6 g ® eich große Tei ® interva ®® e. 2) Berechne den F ® ächeninha ® t A, den der Graph von f und die x-Achse im Interva ®® [1; 7] miteinander einsch ® ießen. 3) Zeige, dass gi ® t: U 2 ª U 3 ª U 6 ª A ª O 6 ª O 3 ª O 2 a) f(x) = 2 x + 1 c) f(x) = 4 x – 3 e) f(x) = ‒ x + 9 b) f(x) = 3 x – 2 d) f(x) = ‒ 2 + 2 x f) f(x) = ‒ 2 x + 14 Ó Techno ® ogie An ® eitung Ober- und Unter- summen mit Geogebra kr592g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv