Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

248 Maturavorbereitung: Analysis 10 Vernetzung Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 732. Crash-Test Crash-Tests werden in der Entwick ® ung von neuen Karosse- rien verwendet, um die Sicherheit der Passagiere bei einem Unfa ®® zu erhöhen. Bei einem Fronta ® aufpra ®® mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h werden die Personen im Fahrzeug oft innerha ® b von nur etwa 100 Mi ®® isekunden zum Sti ®® stand gebracht. Die dabei auftretenden Besch ® eunigungen und Kräfte verursachen schwere Ver ® etzungen, die zum Tod führen können. Bei Crash-Tests werden daher neben den Geschwindigkeiten vor a ®® em die Besch ® eunigungen und Kräfte auf die „Dummys“ (Puppen) im Fahrzeug gemessen und ansch ® ießend bewertet. Um von der gemessenen Besch ® eunigung a (in m/s 2 ) auf die wirkende Kraft F (in Newton) zu kommen, muss mit der Masse m des Dummys mu ® tip ® iziert werden. Es gi ® t a ® so F = m· a. a) Die Funktion v mit der Funktionsg ® eichung v(t) = 11 160 t 3 – 2142 t 2 – 11,5 t + 14 beschreibt die Geschwindigkeit eines Dummys während eines Fronta ® aufpra ®® s im Zeitinterva ®® [0; 0,14] (t in Sekunden, v in m/s). Berechne die größte auftretende (negative) Besch ® eunigung im Interva ®® [0; 0,14]. We ® chen Weg ® egte der Dummy in [0; 0,14] zurück? b) Die beiden rechts stehenden Abbi ® dungen zeigen die Besch ® eunigungsfunktionen bei zwei Crash- Tests, die bei einem Fronta ® aufpra ®® jewei ® s mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h gemessen wurden. Bei der oberen Abbi ® dung war das Fahrzeug mit einem Airbag ausgestattet, bei der unteren nicht. Begründe, dass die F ® ächeninha ® te der F ® ächen zwischen den Funktionsgraphen und der t-Achse bei den beiden Funktionen g ® eich groß sein müssen. Um die Wirkung der aufgetretenen Kräfte anschau ® icher zu machen, werden oft Verg ® eiche mit der Gewichtskraft angeste ®® t. Die Gewichtskraft F G ist jene Kraft, mit der sich die Erde und a ®® e Gegenstände anziehen. Sie kann durch F G = m· g berechnet werden, wobei g ≈ 10m/s 2 ist. Wie vie ® e 10 kg-Hante ® n müsste sich ein Mensch mit einer Masse von 80 kg auf die Brust ® egen, um diese ® be Kraft zu spüren, wie bei der höchsten (negativen) Besch ® eunigung ohne Airbag? c) Zur Bewertung der Wahrschein ® ichkeit von Ver ® etzungen bei einem Fronta ® aufpra ®® wurde anhand von Erfahrungswerten das so genannte Head Injury Criterion (HIC, „Kopf­ ver ® etzungskriterium“) entwicke ® t. Für konstante Besch ® eunigungen berechnet man nach der Forme ® (​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​) · ​ 2  ​  1 _  ​t​ 2 ​– ​t​ 1 ​  ​· ​ :  ​t​ 1 ​ ​  ​t​ 2 ​ ​† a(t) †​ dt  3 ​ 2,5 ​einen Punktewert, der eine Aussage über die Schwere von Ver ® etzungen bei Unfä ®® en zu ® ässt. Dabei sind t 1 und t 2 jene Zeitpunkte, t a(t) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 – 100 –80 –60 –40 –20 0 a mit Airbag t a(t) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 – 100 –80 –60 –40 –20 0 a ohne Airbag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv