Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

24 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 2 A ®® gemein kann der F ® ächeninha ® t mitte ® s so genannter Ober- und Untersummen angenähert werden. Dazu untertei ® t man das Interva ®® [1; 6] in n g ® eich große Tei ® interva ®® e der Länge Δ x 2 =   5 _ n   3 und nähert die einze ® nen F ® ächeninha ® te durch Rechtecksf ® ächen an. In den fo ® genden Abbi ® dungen wird das Interva ®® in n g ® eich große Interva ®® e untertei ® t. Die Summe der F ® ächeninha ® te der Rechtecke in den ® inken Abbi ® dungen wird Untersumme (U) genannt, die in den rechten Abbi ® dungen wird Obersumme (O) genannt. Untersumme U n n = 2 Δ x =   5 _ 2 = 2,5 Obersumme O n n = 2 Δ x =   5 _ 2 = 2,5 U 2 = f(1) · 2,5 + f(3,5) · 2,5 = 0,2 · 2,5 + 2,45 · 2,5 = = 6,63 O 2 = f(3,5) · 2,5 + f(6) · 2,5 = 2,45 · 2,5 + 7,2 · 2,5 = = 24,13 Da der gesuchte F ® ächeninha ® t zwischen U 2 und O 2 ® iegen muss, gi ® t: U 2 ª A(1; 6) ª O 2 w 6,63 ª A(1; 6) ª 24,13 Um den F ® ächeninha ® t genauer einzuschränken, kann die Anzah ® der Tei ® interva ®® e erhöht werden: n = 5 Δ x =   5 _ 5 = 1 n = 5 Δ x =   5 _ 5 = 1 x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 9 1 3 5 7 x 2 _ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 9 1 3 5 7 x 2 _ 5 f(x) = U = f(1) ·1 + f(2) ·1 + f(3) ·1 + f(4) ·1 + f(5) ·1 = = 0,2 + 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5 = 11 O = f(2) ·1 + f(3) ·1 + f(4) ·1 + f(5) ·1 + f(6) ·1 = = 0,8 + 1,8 + 3,2 + 5 + 7,2 = 18 Da der gesuchte F ® ächeninha ® t zwischen U 5 und O 5 ® iegen muss, gi ® t: U 5 ª A 2 1; 6  3 ª O 5 w 11 ª A 2 1; 6  3 ª 18 n = 30 Δ x =   5 _  30  =   1 _ 6 n = 30 Δ x =   5 _  30  =   1 _ 6 x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 9 1 3 5 7 x 2 _ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 9 1 3 5 7 x 2 _ 5 f(x) = U = f(1) ·   1 _ 6 + f 2  1   1 _ 6   3 ·   1 _ 6 + … + f 2  5   5 _ 6   3 ·   1 _ 6 = 13,75 O = f 2  1   1 _ 6   3 ·   1 _ 6 + f 2  1   2 _ 6   3 ·   1 _ 6 + … + f(6) ·   1 _ 6 = 14,92 x f(x) 2 4 6 8 9 1 3 5 7 –4 –2 2 4 6 8 0 f x 2 _ 5 f(x) = x f(x) f –4 –2 2 4 6 8 0 2 4 6 8 9 1 3 5 7 x 2 _ 5 f(x) = Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Ober- und Untersummen 66v5xb Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv