Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

234 Maturavorbereitung: Analysis 10 Ober- und Untersummen Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion. Zer ® egt man das Interva ®® [a; b] in n g ® eich große Tei ® interva ®® e der Breite Δ x =   b – a _ n  und bezeichnet mit m 1 , m 2 , …, m n die Minimumste ®® en und mit M 1 , M 2 , …, M n die Maximumste ®® en von f in den einze ® nen Interva ®® en, dann nennt man • U n = Δ x · f(m 1 ) + Δ x · f(m 2 ) + … + Δ x · f(m n ) = ;  i = 1   n Δ x · f(m i ) Untersumme von f in [a; b]. • O n = Δ x · f(M 1 ) + Δ x · f(M 2 ) + … + Δ x · f(M n ) = ;  i = 1   n Δ x · f(M i ) Obersumme von f in [a; b]. Das bestimmte Integra ® Sei f eine auf [a; b] stetige Funktion, dann kann das bestimmte Integra ® von f in [a; b] a ® s Grenzwert einer Summe von Produkten definiert werden. Es gi ® t: :  a   b f(x)dx ≈ ;  i   f(x i )· Δ x Das bestimmte Integra ® :  a   b f(x)dx ist jener Wert, der zwischen a ®® en Unter- und Obersummen ® iegt. Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e Sind f und g zwei auf [a; b] stetige Funktionen, F eine Stammfunktion von f und k eine ree ®® e Zah ® (≠ 0), dann ge ® ten fo ® gende Rege ® n. Summen- und Differenzenrege ® Rege ® vom konstanten Faktor Konstantenrege ® :  a   b (f(x) ± g(x))dx = :  a   b f(x)dx ± :  a   b g(x) dx :  a   b k ·f(x) dx = k · :  a   b f(x) dx :  a   b f(k · x)dx =   1 _ k · F(k · x)  1 a   b Weitere Rechenrege ® n für bestimmte Integra ® e (1) :  a   b f(x)dx + :  b   c f(x)dx = :  a   c f(x)dx (2) :  a   b f(x)dx = ‒ :  b   a f(x)dx (3) :  a   a f(x)dx = 0 Stammfunktionen spezie ®® er Funktionen f(x) = sin(x) g(x) = cos(x) h(x) = e x F(x) = ‒ cos(x) G(x) = sin(x) H(x) = e x Das bestimmte Integra ® in Kontexten Ist f’(x) =   d f _ d x die momentane Änderungsrate der Größe f, so bedeutet der Ausdruck :  a   b f’(x)dx = f(b) – f(a) die abso ® ute Änderung der Größe f im Interva ®® [a; b]. Die Arbeit Wirkt auf einen Körper ent ® ang eines Weges von Ste ®® e a nach Ste ®® e b die vom Ort s abhängige Kraft F(s), so wird dabei die Arbeit W verrichtet: W = :  a   b F(s)ds Wird vom Zeitpunkt t 1 bis zum Zeitpunkt t 2 die veränder ® iche Leistung P(t) erbracht, so wird dabei die Arbeit W verrichtet: W = :  t 1   t 2 P(t)dt AN 4.1 AN 4.1 AN 4.2 AN 4.3 AN 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv