Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

233 Maturavorbereitung: Analysis |  Wissen kompakt Monotonie einer Po ® ynomfunktion f mit Hi ® fe von f’ –– f ist in [a; b] streng monoton steigend w   f’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b) –– f ist in [a; b] streng monoton fa ®® end w   f’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b) Krümmung einer Funktion f Eine Funktion f: D ¥ R , wobei [a; b] eine Tei ® menge von D ist, heißt • ® inksgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton steigend ist. • rechtsgekrümmt in [a; b], wenn f’ in [a; b] streng monoton fa ®® end ist. • einheit ® ich gekrümmt in [a; b], wenn f in [a; b] nur ® inksgekrümmt oder nur rechtsgekrümmt ist. –– f’’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b)  w  f ® inksgekrümmt in [a; b] –– f’’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b)  w  f rechtsgekrümmt in [a; b] Nu ®® ste ®® en und Extremste ®® en einer Funktion f –– p ist Nu ®® ste ®® e von f  É  f(p) = 0 –– p ist eine ® oka ® e Extremste ®® e É  ​f’​(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Monotonieverha ® ten –– Ist ​f’​(p) = 0 und f’’(p) < 0, dann ist p eine ® oka ® e Maximumste ®® e von f. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Hochpunkt genannt. –– Ist ​f’​(p) = 0 und f’’(p) > 0, dann ist p eine ® oka ® e Minimumste ®® e von f. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Tiefpunkt genannt. Wendeste ®® en –– Eine Ste ®® e p heißt Wendeste ®® e einer Funktion f, wenn sich an der Ste ®® e p das Krümmungsverha ® ten von f ändert. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Wendepunkt genannt. –– f’’(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Krümmungsverha ® ten w  p ist Wendeste ®® e –– Sei f: D ¥ R mit p * D eine Po ® ynomfunktion, dann gi ® t: Ist f’’(p) = 0 und f’’’(p) ≠ 0, dann ist p eine Wendeste ®® e von f. Satte ® ste ®® e/Terrassenste ®® e einer Funktion f Ist f’(p) = 0 und findet an dieser Ste ®® e kein Monotoniewechse ® statt, dann nennt man p eine Satte ® - oder Terrassenste ®® e von f. AN 3.3 AN 3.3 rechtsgekrümmt/ ® inksgekrümmt/ negativ gekrümmt positiv gekrümmt (trauriges Gesicht) ( ® achendes Gesicht) x f(x) 2 4 2 4 0 f x f(x) 2 4 2 4 0 f AN 3.3 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 68 –4 –2 0 f Tiefpunkt Hochpunkt Wende- punkt Nullstellen AN 3.3 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 f Sattelstelle AN 3.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv