Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Wissen komapkt 232 Maturavorbereitung: Analysis 10 Änderungsmaße Sei f eine ree ®® e Funktion, die auf dem Interva ®® [a; b] definiert ist. Dann heißt • f(b) – f(a) abso ® ute Änderung von f in [a; b]. • ​  f(b) – f(a) __  b – a  ​ mitt ® ere Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f in [a; b]. • ​  f(b) – f(a) __  f(a)  ​ re ® ative Änderung von f in [a; b]. • ​  f(b) – f(a) __ f(a)  ​·100 prozentue ®® e Änderung von f in [a; b]. • ​  d f _ d x ​= f’(x) = ​  ® im    z ¥ x ​  f(z) – f(x) __ z – x  ​ momentane Änderungsrate ( Differentia ® quotient, 1. Ab ® eitung ) von f an der Ste ®® e x. Differenzen- und Differentia ® quotient Den Differenzenquotienten ( mitt ® ere Änderungs- rate ) einer Funktion f in [a; b] kann man a ® s Steigung k der Sekante von f in [a; b] interpretieren. Der Differentia ® quotient von f an der Ste ®® e x ist die Steigung der Tangente im Punkt P = (x 1 f(x)). Die Steigung dieser Tangente wird oft auch a ® s die Steigung von f an der Ste ®® e x bezeichnet. Differenzeng ® eichungen ® ineares diskretes Wachstumsmode ®® : y n + 1 – y n = k; y n = y 0 + n · k exponentie ®® es diskretes Wachstumsmode ®® : y n + 1 – y n = k · y n ; y n = y 0  (1 + k) n beschränktes diskretes Wachstumsmode ®® : y n + 1 – y n = k · (W – y n  ); y n = W – (W – y 0 ) (1 – k) n (0 < k < 1) W wird a ® s Wachstumsgrenze bezeichnet. W – y n heißt Freiraum . Rege ® n für das Differenzieren 1) Rege ® vom konstanten Faktor f(x) = k · g(x) w  f’(x) = k · g’(x) 2) Ab ® eitung der konstanten Funktion f(x) = c, (c * R ) w  f’(x) = 0 3) Ab ® eitung einer Summe bzw. einer Differenz f(x) = g(x) ± h(x) w  f’(x) = g’(x) ± h’(x) Ab ® eitungen spezie ®® er Funktionen f(x) = sin(x); f’(x) = cos(x) g(x) = cos(x); g’(x) = ‒ sin(x) h(x) = ​e​ x ​; h’(x) = ​e​ x ​ Ab ® eitungsfunktion/Stammfunktion Sind f und F zwei be ® iebige stetige Funktionen mit derse ® ben Definitionsmenge D, dann nennt man F Stammfunktion von f, wenn gi ® t: ​F’​(x) = f(x) für a ®® e x * D bzw. F(x) + c = ​ :  ​  ​ f(x)​dx Ist die Definitionsmenge D von f ein Interva ®® (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine ree ®® e Konstante c. Es gi ® t: F(x) – G(x) = c Das Finden einer Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integrieren genannt. AN 1.1 AN 1.2 x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P = (x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x AN 1.2 AN 1.3 AN 1.4 AN 2.1 AN 2.1 AN 3.1 AN 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv