Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

229 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten vernetzung 676. Moore’s Gesetz Gordon Moore war ein Mitbegründer der Firma Inte ® , heute einer der größten Computerchip­ herste ®® er der We ® t. In vie ® en modernen PCs verrichten Prozessoren von Inte ® ihren Dienst. Die k ® einsten Baue ® emente eines Computerchips sind so genannte Transistoren. Im A ®® gemeinen erhöht sich die Komp ® exität und damit die Leistungsfähigkeit eines Prozessors, wenn die Anzah ® der Transistoren pro F ® ächeneinheit größer wird. Die Geschwindigkeit eines Computers hängt a ® so wesent ® ich von der Anzah ® der Transistoren ab. Unter dem „Moore’schen Gesetz“ („Moore’s ® aw“, 1995) versteht man die Prognose, dass sich die Anzah ® der Transistoren auf einem Computerchip jähr ® ich verdoppe ® n werde. a) Die nebenstehende Abbi ® dung zeigt beispie ® haft die Entwick ® ung der Anzah ® der Transistoren auf Computerchips in einem Zeitraum von 1971 bis 2011. Begründe anhand der Abbi ® dung, dass das Wachstum der Anzah ® der Transistoren nicht durch eine ® ineare Funktion beschrieben werden kann. Der 8088 Prozessor, der im Jahr 1979 im a ®® erersten PC verwendet wurde, bestand aus 29 000 Transistoren. Beim Pentium Mode ®® von 1993 arbeiteten bereits 3,1 Mi ®® ionen so ® cher Bautei ® e. Berechne, wie vie ® e Transistoren ein Core7 (Quad) von 2008 entha ® ten müsste, wenn man von einem ® inearen Wachstum ausgeht. Runde das Ergebnis auf Tausender. b) Das von Gordon Moore prognostizierte Wachstum der Anzah ® der Transistoren ® ässt sich mit einer Exponentia ® funktion der Form A(t) = A 0  · ​e​ λ ·t ​oder A(t) = A 0  · ​2​ ​  t _  ​T​ 2 ​  ​ ​beschreiben, wobei T 2 die Verdoppe ® ungszeit bedeutet. Zeige, dass die beiden Funktionsg ® eichungen A(t) = A 0  · ​e​ λ ·t ​und A(t) = A 0  · ​2​ ​  t _  ​T​ 2 ​  ​ ​äquiva ® ent sind, wenn man λ = ​  ® n(2) _  ​T​ 2 ​  ​setzt. Gib mit Hi ® fe der Funktionsg ® eichung A(t) = A 0  · ​2​ ​  t _  ​T​ 2 ​  ​ ​eine Prognose über die Anzah ® der Transistoren in einem Prozessor im Jahr 2025 ab, wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2008 230 Mi ®® ionen Transistoren verwendet wurden. Runde das Ergebnis auf Mi ®® iarden. c) Die nebenstehende Graphik veranschau ® icht Moore’s Annahme, dass die Transistoren die F ® äche auf dem Chip optima ® nutzen, was eine Kostenminimierung bei der Chipherste ®® ung bewirkt. Die gezeigte Kurve ste ®® t einen Zusammenhang zwischen der Packungsdichte der Transis- toren (Anzah ® der Transistoren pro F ® ächeneinheit) und den Kosten pro Chip her und kann durch eine Po ® ynom­ funktion zweiten Grades der Form f(x) = a x 2 + b x + c mode ®® iert werden. Für den Scheite ® punkt S des Graphen der Funktion gi ® t a ®® gemein: S = ​ 2  ​ ​  ‒ ​  b _  2 · a ​  1  ​c – ​  b 2 _  4 · a ​  3 ​. Gib a ®® e Bedingungen für die Parameter a, b und c an, sodass die gezeigte Kurve korrekt beschrieben wird. 2300 10000 100000 1000000 10000000 100000000 1000000000 2600000000 1980 1990 2000 2011 1971 Anzahl der Transistoren Veröffentlichungsjahr 4004 8008 8080 8085 8086 8088 80286 80386 80486 Pentium Pentium II Pentium III Pentium 4 AMD K8 AMD K10 Core 2 Duo Core i7 (Quad) 10-Core Xeon Westmere-EX AMD K5 AMD K6 AMD K7 Packungs- dichte ή ή Optimum Kosten pro Chip 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv