Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

227 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten vernetzung Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 674. Die Atmosphäre der Erde Mit zunehmender Höhe verändern sich die Umwe ® tbedingungen in der Atmosphäre der Erde. Die fo ® gende Abbi ® dung zeigt die Veränderungen von Temperatur, Druck und Dichte in Zusammenhang mit der Höhe über dem Erdboden. Die Dichte ρ ist dabei a ® s der Quotient ​  m _  V ​ definiert, wobei m die Masse einer bestimmten Menge Luft (in kg) bedeutet und V jenes Vo ® umen (in m 3 ) ist, das diese Menge Luft einnimmt. Die Höhe h wird in Ki ® ometer (km), der Druck p in Hectopasca ® (hPa) und die Temperatur in °C bzw. Ke ® vin (K) gemessen. a) Die Dichte der Luft in Abhängigkeit von der Höhe ® ässt sich im Höheninterva ®® [5; 18] durch eine ® ineare Funktion beschreiben. Begründe dies anhand der in der obigen Abbi ® dung angegebenen Werte. Jemand behauptet: „Bei konstanter Masse stehen die Dichte und das Vo ® umen der Luft in einem direkt proportiona ® en Zusammenhang.“ Ist diese Behauptung richtig? Begründe deine Antwort. b) Der Druck p nimmt in der Atmosphäre exponentie ®® mit der Höhe h ab. Ste ®® e eine Exponentia ® funktion der Form p(h) = p 0  · ​e​ λ h ​auf, die diese Abnahme beschreibt. Verwende dafür die Werte bei den Höhen 12 km und 48 km. Gib an, auf we ® chen Prozentsatz der Druck sinkt, wenn die Höhe um 5 km zunimmt und begründe, dass dieser Wert weder von der Ausgangshöhe noch vom Ausgangsdruck abhängt. c) Die Temperatur kann in Abhängigkeit von der Höhe im Höheninterva ®® [0; 110] durch eine Funktion T angenähert werden. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Funktion T besitzt im Interva ®® [0; 110] ein eindeutiges g ® oba ® es Minimum.  B Im Höheninterva ®® [48; 80] gi ® t für a ®® e h 1 , h 2 mit h 1 < h 2  , dass T(h 1 ) < T(h 2 ) ist.  C Die Funktion T ist im Interva ®® [12; 48] streng monoton steigend.  D Die Funktion T ist symmetrisch bezüg ® ich der Achse h = 48.  E Die Funktion T besitzt im Interva ®® [0; 110] ein eindeutiges g ® oba ® es Maximum.  Die Abnahme der Temperatur im Höheninterva ®® [0; 12] ® ässt sich durch eine Abnahme des Luftdrucks und einer damit einhergehenden Vergrößerung des Vo ® umens einer bestimmten Menge Luft erk ® ären. Der näherungsweise Zusammenhang zwischen der 0 10 12 180 200 220 240 260 280 K °C Temperatur in °C und Kelvin –80 –60 –40 –20 0 20 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Höhe h (km) Thermosphäre Mesopause Mesosphäre Stratopause Stratosphäre Tropopause Troposphäre 500 225 1013 100 10 1 0,01 0,001 Druck p (hPa) 0,697 0,364 1,225 0,076 0,015 0,0014 20·10 –4 4,4·10 –6 Dichte der Luft ή (kg/m 3 ) 5 12 18 48 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Höhe h (km) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv