Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

22 2 Der Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung Es sind besondere Momente in der Geschichte der Mathematik, wenn es ge ® ingt, Prob ® eme zu ® ösen, deren Lösung auf den ersten B ® ick unmög ® ich erscheint. Eines dieser Prob ® eme ist die Berechnung der F ® ächeninha ® te von Figuren, deren Begrenzungen gekrümmt sind. Man kann versuchen, die F ® äche mit geometrischen Formen zu fü ®® en, deren F ® ächeninha ® te man berechnen kann (z. B. mit Quadraten oder Kreisen), aber das wird nicht immer vo ®® kommen ge ® ingen. Bestenfa ®® s kann man eine Annäherung an den F ® ächeninha ® t optimieren, indem man die F ® äche mit immer k ® eineren Figuren fü ®® t. Dieses Kapite ® enthä ® t (fast unscheinbar und ganz zum Sch ® uss) noch eine weitere faszinierende Erkenntnis: Unend ® ich ® ange F ® ächen sind nicht unbedingt unend ® ich groß! Einer der beiden F ® ächeninha ® te dieser sich bis ins Unend ® iche ausdehnenden F ® ächen ist nicht unend ® ich groß. We ® cher das ist, wirst du nach Er ® ernen dieses Kapite ® s se ® bst herausfinden und diesen F ® ächeninha ® t se ® bst berechnen können. x f(x) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 f(x) = 1–x x f(x) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 f(x) = 1 –x 2 Das Prob ® em: Bestimme den F ® ächeninha ® t dieser Figur. tammfunktion Die mathematische Ma ® ermeisterin! Ich kann mit nur einem Farbtopf eine unend ® ich große F ® äche ausma ® en! Den Mathematikern Newton und Leibniz ist es sch ® ieß ® ich ge ® ungen, dieses Jahrtausend-Prob ® em zwar nicht für a ®® e, aber für sehr vie ® e Fä ®® e zu ® ösen. Bemerkenswert ist dabei auch, dass es zwar sehr schwierig war, die Lösung dieses Prob ® ems zu finden, das Anwenden der Lösung se ® bst aber verhä ® tnis­ mäßig einfach ist – so einfach, dass du nach Er ® ernen dieses Kapite ® s se ® bst die F ® ächeninha ® te vie ® er so ® cher gekrümmten F ® ächen berechnen können wirst. Die Hi ® fe zur Lösung dieses Prob ® ems kommt dabei von recht unerwarteter Seite: den Stammfunktionen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv