Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

204 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten 9 Exponentia ® funktion f(x) = a · b x bzw. f(x) = a · ​e​ λ ·x ​mit a, b * ℝ +, λ * ℝ Exponentia ® funktion f(x) = a · ​b​ x ​(a * R \{0} und b * ​ R ​ + ​) natür ® iche Exponentia ® funktion: f(x) = a · ​e​ λ ·x ​mit λ * R ; b = ​e​ λ ​  bzw.  λ = ® n(b) Wertepaare ermitte ® n Funktionswerte ermitte ® n: für x Zah ® en in den Funktionsterm einsetzen bzw. aus Tabe ®® en und Graphen für bestimmte x-Werte die entsprechenden y-Werte ab ® esen Argumente ermitte ® n: für gegebene y-Werte die entsprechenden x-Werte aus Tabe ®® en oder Graphen ab ® esen bzw. die Exponentia ® g ® eichung a · ​b​ x ​= y nach x ® ösen Wirkung der Parameter a und b f(x) = a · b x f(x) = a · ​e​ λ ·x ​ exponentie ®® es Wachstum b > 1 λ > 0 exponentie ®® e Abnahme 0 < b < 1 λ < 0 x = 0 f(0) = a Charakteristische Eigenschaften der Exponentia ® funktion f(x) = a · ​b​ x ​ Es gi ® t: f(0) = a und f(x + 1) = f(x) · b bzw. f(x + h) = f(x) · ​b​ h ​ Ha ® bwertszeit/Verdopp ® ungszeit N(t) = ​N​ 0 ​· ​e​ λ ·t ​beschreibt einen Änderungsprozess. Ha ® bwertszeit τ : Zeit, in der sich N ha ® biert:  ¥ τ = ​  ® n(0,5) _ λ  ​ Verdopp ® ungszeit T: Zeit, in der sich N verdoppe ® t:  ¥  T = ​  ® n(2) _ λ  ​ Exponentie ®® er Zusammenhang Vergrößert man das Argument einer Exponentia ® funktion um 1 (um n), dann ändert sich der Funktionswert um das b-Fache (auf das b n -Fache). Sinusfunktion, Cosinusfunktion Sinusfunktion Für f mit f(x) = a · sin(b · x) gi ® t: Wirkung der Parameter a und b Für die Parameter a und b in der Funktionsg ® eichung f(x) = a · sin(b · x) gi ® t: a … maxima ® e Aus ® enkung b … Anzah ® der komp ® etten Schwingungen auf einer Länge von 2 π Periodizität Für die (k ® einste) Perioden ® änge p der Funktion f mit f(x) = a · sin(b · x) gi ® t: p = ​  2 π _ b  ​ Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion ent ® ang der x-Achse um ​  π _ 2 ​nach ® inks, erhä ® t man den Graphen der Cosinusfunktion. Ab ® eitung der Winke ® funktionen [sin(x)]’ = cos(x) [cos(x)]’ = ‒ sin(x) FA 5.1 FA 5.2 FA 5.3 FA 5.4 FA 5.5 FA 5.6 x f(x) f 0 π 2 π π –2 3 π –2 a 2 π _ b FA 6.1 FA 6.3 FA 6.4 FA 6.5 x f(x), g(x) – 0 π 2 π – 1 1 π –2 π –2 π –2 3 π –2 g(x) = sin(x) f(x) = cos(x) FA 6.6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv