Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 18 Stammfunktionen 1 Partie ®® e Integration So wie es die Produktrege ® beim Differenzieren gibt, gibt es auch eine entsprechende Rege ® beim Integrieren, mit der sich manche Integra ® e berechnen ® assen. Die Methode wird partie ®® e Integration genannt und kann mit der Produktrege ® bewiesen werden. Partie ®® e Integration Sind f und g zwei Funktionen, F eine Stammfunktion von f und g’ die Ab ® eitungsfunktion von g, dann gi ® t: :    f(x)· g(x) dx = F(x) · g(x) – :    F(x)· g’(x) dx 43. Berechne :    x· ® n(x) dx. Es wird fo ® gende Zuordnung gewäh ® t: f(x) = x g(x) = ® n(x) w F(x) =   x 2 _  2 g’(x) =   1 _ x Durch Anwendung obiger Rege ® erhä ® t man: :    x· ® n(x) dx =   x 2 _  2 · ® n(x) – :    x 2 _  2 ·   1 _ x dx =   x 2 _  2 · ® n(x) – :    x _ 2 dx =   x 2 _  2 · ® n(x) –   x 2 _  4 + c Über ® ege, we ® cher Faktor durch Ab ® eiten einfacher wird. 44. Berechne das unbestimmte Integra ® . a) :    5x · ® n(2 x) dx c) :    x· sin(2 x) dx e) :    3x · sin(4 x) dx b) :    3x · ® n(4 x) dx d) :    x· cos(2 x) dx f) :    6x · cos(2 x) dx Stammfunktionen – das unbestimmte Integra ® Sind f und F zwei be ® iebige Funktionen mit derse ® ben Definitionsmenge D, dann nennt man F Stammfunktion von f, wenn gi ® t: F’(x) = f(x) für a ®® e x * D bzw. F(x) + c = :    f(x)dx (c * R ) Ist die Definitionsmenge D von f ein Interva ®® (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine ree ®® e Konstante c. Es gi ® t: F(x) – G(x) = c Das Finden einer Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integrieren genannt. Das unbestimmte Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c * ℝ ) die Umkehrung zum Differenzieren . Weitere Integrationsrege ® n Sind f und g zwei auf einem Interva ®® definierte Funktionen und F und G zwei Stamm funktionen von f bzw. g, k eine ree ®® e Zah ® (≠ 0), dann gi ® t: Summen- und Differenzenrege ® : :    (f(x) ± g(x))dx = :    f(x)dx ± :    g(x)dx = F(x) ± G(x) Rege ® vom konstanten Faktor: :    k · f(x)dx = k · :    f(x) dx = k · F(x) Konstantenrege ® : :    f(k · x)dx =   1 _ k · F(k · x) Substitutionsrege ® : x = g(u) bzw. dx = g’(u) du w :    f(x)dx = :    f(g(u)) · g’(u) du Partie ®® e Integration: :    f(x)· g(x) dx = F(x) · g(x) – :    F(x)· g’(x) dx Ó Vertiefung Beweis partie ®® e Integration jh2sz8 muster TIPP Ó Arbeitsb ® att Partie ®® e Integration j4i6bd zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv